プロフィール

suurizemi

Author:suurizemi
はじめまして。私の名前は松崎遥です。
2010年現在、東京大学大学院総合文化研究科の2年生です。
最近いろいろ総合しすぎてよく解っていません。
e-mailアドレスは、blckcloistergmilどっと混むです。出会い系サイトの攻撃によりコメント機能は使えませんので、こちらにご連絡下さい。

私の好きな言葉だけ・・・
「証明の海の中にこそ数学の生命が宿り、定理や予想は大海に浮かぶただの泡である(よみ人知らず)」
「曖昧な知識は何の役にもたちません。自戒を込めて(神保道夫)」
「連続関数以外では、微分積分法はむずかしい!(高木貞治)」
「10代で共産主義にかぶれない人間は情熱が足りない。20を過ぎて共産主義にかぶれる人間は知能が足りない。(よみ人知らず)」
「だから、あの人自身がアトラクターなんだよね(金子邦彦教授評。)」
「われわれは、ほとんど知識をもっていないことほど固く信じている。(モンテーニュ)」
「現代文明の根源であり象徴である近代科学は,知的に非凡とは言えない人間を温かく迎えいれ,その人間の仕事が成功することを可能にしている.
 その原因は,新しい科学の,また,科学に支配され代表される文明の,最大の長所であり,同時に最大の危険であるもの,つまり機械化である.物理学や生物学においてやらなくてはならないことの大部分は,誰にでも,あるいはほとんどの人にできる機械的な頭脳労働である.科学の無数の研究目的のためには,これを小さな分野に分けて,その一つに閉じこもり,他の分野のことは知らないでいてよかろう.方法の確実さと正確さのお陰で,このような知恵の一時的,実際的な解体が許される.これらの方法の一つを,一つの機械のように使って仕事をすればよいのであって,実り多い結果を得るためには.その方法の意味や原理についての厳密な観念をもつ必要など少しもない.このように,大部分の科学者は,蜜蜂が巣に閉じこもるように,焼き串をまわす犬のように,自分の実験室の小部屋に閉じこもって,科学全体の発達を推進しているのである.・・・(中略)・・・大部分の科学者は,自分の生とまともにぶつかるのがこわくて,科学に専念してきたのである.かれらは明晰な頭脳ではない.だから,周知のように,具体的な状況にたいして愚かなのである.(オルテガ)」
「幾何学(=数学)について腹蔵なく申せば、私は、これを頭脳の最高の訓練とは思いますが、同時にそれが本当に無益なものだということをよく存じていますので、、、(パスカル)」
「犬っころなら三日も四日も寝ていられようが・・・寝て暮らすにゃあ、人間てのは血が熱過ぎる・・・(村田京介)」
「小泉純一郎は朝食をたくさん食べる。ヒトラーも朝食をたくさん食べた。だから小泉はヒトラーと同じだ(朝日新聞)」
「畜生、今日もまた Perl でスクリプトを書いてしまった。ああもう、 Python がデフォルトでインストールされないシステムはゴミだよ。いや、それではゴミに対して失礼だ (リサイクル可能なものが多いからな) 。よし、こうしよう。 Python がデフォルトでインストールされないシステムは核廃棄物だ。いや、核廃棄物の中にも再利用できるものはあるな。なんて事だ、俺は本当に無価値なものを発見してしまった・・・(プログラマー)」
「ヨーロッパかアメリカの気候のよいところで、
のんびりぜいたくに遊んで一生を暮らすこともできるだろうに・・・それがお前たち下等なブルジョワの最高の幸福だ。」
「もし二人がいつも同じ意見なら、一人はいなくてもよい。(チャーチル)」
「悉く書を信ずれば、即ち書無きに如かず。(孟子)」
「一般的に、時間が経てば経つほど、バグを直すのにかかるコスト(時間とお金)は増える。
例えば、コンパイル時にタイプか文法エラーが出たら、それを直すのはごく当たり前のことだ。
バグを抱えていて、プログラムを動かそうとした最初のときに見つけたとする。君はわけなく直せるだろう。なぜなら、君の頭の中でそのコードはまだ新鮮だからだ。
2、3日前に書いたコードの中にバグを見つけたとする。それを追い詰めるのには少し時間を要するだろう。しかし、書いたコードを読み直せばすべてを思い出し、手ごろな時間で直せるだろう。
でも、2,3ヶ月前に書いたコードの中のバグについては、君はそのコードについて多くを忘れているだろう。そして、直すのはこれまでよりずっと大変だ。このケースでは、君は誰か他の人のコードを直していて、書いた本人は休暇でアルバ島(訳註:ベネズエラ北西カリブの島・リゾート地)に行っているかもしれない。この場合、バグを直すことは科学"science"のようなものだ。ゆっくり、順序立てて慎重にやらなければならないし、直す方法を見つけるのにどのくらいかかるのか、確かなところがわからない。
そして、すでに出荷されたコードのバグを見つけたら、それを直すには途方も無いコストを招くだろう。(Joel on Software)」
「男と女には春夏秋冬がある。
春にしっかり育てて、
夏に燃え上がり、
秋に”情”という実がなり
冬はそれを食べて生きていく。(柳沢きみお)」

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もはや自主セミナーの補助ページではなくなって久しいモノ。
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poisson括弧
この二日、ラフかディオ・ハーンの怪談だとか枕草子だとか・・・はたまたドストエフスキーの賭博者だとか、いろいろな小説を読みながら、解析力学におけるポアソン括弧の意味とは何か、また断熱定理の意味を考え続けていた。

それにあたって、ランダウの力学を最初から読み始めると言う愚行をし、25ページあたりになってようやく愚行だと言うことに気が付いた。しかし、運動の積分についてランダウの知見が盛り込まれていて実に楽しい。いろいろな運動の積分を計算してみて、どのような時に役に立たないか考えたりした。そこで引き続き明日もこれを読むことにした。

さて、実際にはいきなりランダウを読み始めたのではなく、白紙に思うところをバーッと書いてみた。

ポアソン括弧の定義。
ポアソン括弧はリー微分と同じだから、正準方程式をハイゼンベルグの運動方程式の形に書きなおせる。
正準方程式だけでなく、任意の物理量f(p,q)の時間発展は{f,H}に等しい。
ポアソン括弧はリー環の積である。微分と言う概念を、リー環の結合定数と言う概念で置き換えることが出来る。
さらに、ポアソン括弧を使うと、微分演算子を作ることが出来る。リー微分だから当たり前だ。
基本ポアソン括弧はどのようなハミルトニアンでも成り立つ。
微分演算子だからポアソン括弧は固有関数を持つ。固有関数は波動関数である。
固有関数から第一積分を構成できる。
第一積分同士のポアソン括弧は第一積分だ。


やはり3ページぐらいで詰まってしまい。主にあたった文献はやはり山本義隆の解析力学と、深谷賢治の解析力学と微分形式だった。まず後者の本から得たことを纏めると、

{f,g}を生成関数とするハミルトニアンベクトル場X{f,g}は、[Xf,Xg]と一致する。

これは衝撃的である。さっき白紙上で悪戦苦闘した、ヤコビの恒等式が赤子の手をひねるように証明できてしまうではないか!
逆に、ポアソン括弧がどうしても必要な理由と言うのはあまり読み取れない。

山本義隆から:
第一積分とハミルトニアンは区別がつかないと言うことに気が付いた。(第一積分のフローでハミルトニアンも保存される。ネーターの定理が見やすい)
そのため、ポアソン括弧の反対称性の物理的意味に気が付いた。
力学の問題を解くということは、ハミルトニアンベクトル場の積分曲線による正準変換を求めることだと気づいた。ポアソン括弧は、それを指数写像(べき級数)で求めるための計算法でもある。


あと、どうも自分には、ポアソン括弧の正準変換による不変性という概念が抜け落ちていたらしい。危ない危ない。

そして何よりも大事なのは、ポアソン括弧を使った、可積分系のリュウビルの定理の証明である。実はまだ、これをちゃんとフォローできていない。ここらへんに、ポアソン括弧の真の存在意義があるのではないか。といっても、リー微分であると言うことの範疇を出るものではないのだが・・・。

結局は、量子力学か?とも思ってしまう。しかし、反対称性の物理的意味がわかったことは貴重だった。
 
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マインドフレア
9月29日

いきなりだが・・・終了した。午前4時、N山の家でやっと5人の漢がボーアの原子模型の作用変数を計算し終わった・・・(577ページ)。

その後、かなり久しぶりに線香花火などをやった。かなり新鮮に美しいと思ってしまった。その後昼過ぎに起き、春日でチーズはさみトンカツを食べ、後楽園で銭湯に行ってみんなと別れたのであった。帰りに神保町に行くと、またまたいいものを見つけてしまった。このゼミのおかげでアーノルド理論に興味を持ったので、「位相力学」「これからの幾何学}「実解析入門」を買った。(その前日には「Phase Space Picture of Quantum Mechanics」を買った。全部で1万円もの出費。。。)

帰りの電車で読み終わらなかったので、駅から歩きながらこれからの幾何学の一章目を読み終えた。アナログをデジタルにするのは、多次元からが難しいということは、6月の相空間のプログラミングで感じていたことだった(リュウビルの定理を確認するときに、点の位置からでは体積が一通りに決まらないということ)。しかし、ガウス・ボンネと類似(似てないけど)の定理がデジタル空間でも成り立つというのは面白い・・・

また数学のことを書いてしまった。しかし、この夏休みで自分はいつもどこかで数学をやり続けていないといまいち退屈で仕方が無いということを痛感してしまった。音楽をやっていたころは二つ趣味があってよかったんだけどね・・・。音楽はもうちょっと広い部屋に越せないとやっていられないかな。

しかし長かった。あまりに大変で、ブログも全く更新しなかった・・・。まぁでもこの解析力学のゼミの記録は、もう一度最初から読み直したときにつけようと思う。ポアンカレ変換は技術的なので一度目は嫌ってしまったが、可積分系にわたるときに具体例がほしいのでもう一回やろうと思う。ポアンカレは本当にたいしたヤツだ。僕にとってポアンカレが数学の王様だという感じがする。位相力学を買ったのも、ポアンカレとちょっとゆかりがあるような気がして少しうれしい。

ちなみに、なぜ位相力学なんかをやろうかと思ったかというと、可分離なシンプレクティック空間が球面にコンパクト化でき、球面のベクトル場の挙動が分かれば力学は全て解けるということに気がついたからである。位相力学はコンピューターを使った実践的なアプローチと、超準解析を使った直感的なアプローチで攻めて行きたい。最終的には、指数定理がすんなり入るくらいベクトル場の大域挙動に敏感になるのが目標である。

もともと、山本義隆の本のように接ベクトルを微分作用素、微分形式を作用素上の関数のようにとる定義の仕方は、リー微分を入念に定義してしまえば必要がない。まぁ微分形式が積分論で便利だといっても、直感的な超準解析の微分形式はモナドによる法を持つし、直積という微分形式を超える概念を持っているので適当であると思うのである。


そのほか、著者の山本先生にもお会いしたし、新学期の時間割も入手したし、いろいろとあった。ゼミが終わってこのメンバーともしばらく会うことがないかと思うと、なかなかさびしいものである。

冬にはなんとワインバーグをやるのだが、そのときまでに相空間の量子力学像と、関数解析をしっかり掴んでおきたい。
 
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山本義隆3
3回目。
超寝坊。微分形式の講義をしに行く。難しいのかよくわからんが、だんだん人が減っていき一対一になる。どこら辺が難しいか実はわからない。頭がおかしくなってしまったらしい。

4回目。
ラグランジュ形式について。具体例が素晴らしい。オイラー角がいまだによくわかってない。ここだけ自分で導いていないからだ。

5回目。
みんな、具体例をやっていたらしい。ラウシアンの例が重い。

22日に再開。あまり書くべきことがない。今のところ簡単な気がする。不満点は、主にまだ微分形式の有り難味がわからない(幾何学的ラグランジュ方程式を複数座標で表すということが出来ていない)ことだ。
ベクトルの変換則で運動方程式はめちゃくちゃになるはずだが、幾何学的ラグランジュ方程式からそれらを導くということが出来ていない。

また、これは次回の範囲であるが、非ホロノミック拘束のコインの問題がよくわからない。拘束力をわざわざ求める理由もよくわからない。これは結局オイラー角の不理解に起因するような気がする。頑張れ俺。
 
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リー微分の役割がまだ薄い・・・
8月7日

にかいめ。

接ベクトル(37~49)
担当が予習してなさすぎ。まぁ簡単なので質問もひねり出しようがなかった。

フロー・引き戻しと微分写像・リー微分(49~57)
ひきもどしまでは一人悩んでた以外は問題なかったようだ。要は当たり前のことを言っているわけで、慣れですね。
問題はベクトル場のリー微分で、出た成果は:

関数とベクトル場のリー微分の定義が違うのは、引き戻しと微分写像の方向が違うからだ。
リー微分はライプニッツ則で、1形式にも定義できるから、当然(p,q)テンソルにも拡張されるべきだ。
ライプニッツ則は本質的だ。接続の計算のように、基底の計算結果(クリストッフェル記号に相当するもの。この場合は、基底が可換であること)さえ分かっていればライプニッツ則から交換子を導けるはずだ。という主張。僕が言い出したのだが、少してこずってから証明できた。

というところ。自分の出した質問しか書いてないけど。

リー代数からリー群を求める(57~66)
発表者が予習をしてきていてとてもグッド。
不変ベクトル場がリー代数をなすのは分かってしまえばとてもカンタン。交換子が不変なのが本質的なのを忘れずに。また、ここでやっている、群による左移動は本質的にフローによるリー移動である。これはみんなに言い忘れたので申し訳ない。まあみんな知ってるか。

これはでも本質的なことで。
Xを共変微分の積分、平行移動によって平行ベクトル場を定義。
Xをリー代数のexp、リー群によるリー移動によって不変ベクトル場を定義。
これは似てるでしょ?違うのは、共変微分のライプニッツ則が一方向性で、リー微分のライプニッツ則が双方向性であること。これは、リー微分がどちらかというと曲率に近いから。まぁこれはポアソン括弧までお楽しみにとっておこう。

一般論と章末の具体例に何にも関係がないので、ブーイングが出ました。まあ話し合った結果、これは積分曲線を求めてるんじゃなくて、フローを求めてるんだということで。最後の式は1径数で、リー群の全体じゃない部分群だからね。

でもこの方法では、一般のベクトル場の積分曲線は求められないと思われる。なぜなら、指数写像の構成が積分を使って求められているから、積分不可能なときには指数写像が構成できない。積分しにくい場合の例はこの本にもほしかったな。

まぁ今のところはカンタンな感じです(みんなとのゼミで理解したところが多いけど)。帰りにまたケイカにいった。今度はY竹と一緒。ハマる。
 
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ファイバーバンドルなんてただの道具よ。
8月4日

ついにきてしまった。この日が。

教室に着くと、すでに7人も人がいた。つまり、ニューカマーが2人だ。歓迎すべきことだ。

あらかじめ割り振っておいた36ページという理不尽な量のテキストを、物理工学科以外はみんな読み込んでいたのに驚いた。反面、テストが直前まであった物理工学科の人に罪悪感を抱いた。

さて、内容。

1~24ページまでは普通に進んだ。
1~12まではT田がそつなくこなす。途中、スクレロノーマス、レオノーマスなどを語学マニアIが調べてきていて盛り上がる。また、前半は活発に質問が出た気がする。脚注に不可逆な相空間の話が出ていたが、あれは統計力学のことだ。佐々先生のセミナーが役に立った。
後半は俺がやりました。あらかじめ全部そらでかけるように練習しておいたので精神的に楽々でした。これも佐々セミナーの成果か?

配位空間上の超曲面の力学・測地線方程式(1~12)
3次元中の曲面の力学・測地線方程式(12~16)
曲率の導入による方程式の定性化(16~20)
測地線の局所的最小性(20~24)

最後のトピックでは、局所座標上ではどんな測地線も大域的最小であり、局所的な性質の根源が、多様体を一つの被覆で被覆しきれないことにあることが浮き彫りにされ、教育的であった。

さて、24~36ページは、まぁテンソルの説明ぐらいはみんな理解していたので良かった。

テンソル(24~30)

問題はそのあとである。この本は、接続と平行移動の取り扱いが悪いと担当の俺は感じました。簡単に言ってしまえば、平行移動を天下りに与えて共変微分を定義するやり方です。これは、良くない。一般相対論を分かりにくくする元凶の一つは絶対ここにあると思います。

なので、オリジナルなロジックを組み立ててきて披露することにしました。アフィン接続の定義(χ×χ→χなる写像として。χはベクトル場)を3つの公理で公理的に与えて、ねじれ条件と長さの保存を入れると接続が一意に決まり、レビ・チビタ接続になってしまうというロジックです。この方法だと、天下りなところはほとんどないので、最も分かりやすいと思います。仮定するのは、接続の線型性とライプニッツ則だけなので、これは直感的に受け入れやすいです。

ファイバーバンドルの説明でちょっとてこずりましたが、みんなとの議論でファイバーバンドルの具体例が多く得られたので良かったです。

この方法だと、接続方程式のコーシー問題、つまり解の一意性から平行移動が必然的に決まってしまうので、クリアーな感触が得られます。加速度ゼロの曲線が測地線方程式を導くところはみんな楽しんでもらえたようでよかったです。

帰りに院の話をしながら帰りました。なぜか量子コンピュータの話などにもなりました。物理は広い。
 
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ふと思いついて
突然、微分計算をしてくれるプログラムを書こうと思いついた。いや、マセマティカでいいんだけど、自分で作ったほうがなじみがあるし。そもそも、プログラムの書き方がよくわからない状態に危機感を感じていたのです。

で、JAVAを一から復習していたら朝になってしまいました。200行のプログラムはいまだに動いてくれません。

最終的には正準変換をしてくれるプログラムを作る予定です。遠い・・・
 
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