プロフィール

suurizemi

Author:suurizemi
はじめまして。私の名前は松崎遥です。
2010年現在、東京大学大学院総合文化研究科の2年生です。
最近いろいろ総合しすぎてよく解っていません。
e-mailアドレスは、blckcloistergmilどっと混むです。出会い系サイトの攻撃によりコメント機能は使えませんので、こちらにご連絡下さい。

私の好きな言葉だけ・・・
「証明の海の中にこそ数学の生命が宿り、定理や予想は大海に浮かぶただの泡である(よみ人知らず)」
「曖昧な知識は何の役にもたちません。自戒を込めて(神保道夫)」
「連続関数以外では、微分積分法はむずかしい!(高木貞治)」
「10代で共産主義にかぶれない人間は情熱が足りない。20を過ぎて共産主義にかぶれる人間は知能が足りない。(よみ人知らず)」
「だから、あの人自身がアトラクターなんだよね(金子邦彦教授評。)」
「われわれは、ほとんど知識をもっていないことほど固く信じている。(モンテーニュ)」
「現代文明の根源であり象徴である近代科学は,知的に非凡とは言えない人間を温かく迎えいれ,その人間の仕事が成功することを可能にしている.
 その原因は,新しい科学の,また,科学に支配され代表される文明の,最大の長所であり,同時に最大の危険であるもの,つまり機械化である.物理学や生物学においてやらなくてはならないことの大部分は,誰にでも,あるいはほとんどの人にできる機械的な頭脳労働である.科学の無数の研究目的のためには,これを小さな分野に分けて,その一つに閉じこもり,他の分野のことは知らないでいてよかろう.方法の確実さと正確さのお陰で,このような知恵の一時的,実際的な解体が許される.これらの方法の一つを,一つの機械のように使って仕事をすればよいのであって,実り多い結果を得るためには.その方法の意味や原理についての厳密な観念をもつ必要など少しもない.このように,大部分の科学者は,蜜蜂が巣に閉じこもるように,焼き串をまわす犬のように,自分の実験室の小部屋に閉じこもって,科学全体の発達を推進しているのである.・・・(中略)・・・大部分の科学者は,自分の生とまともにぶつかるのがこわくて,科学に専念してきたのである.かれらは明晰な頭脳ではない.だから,周知のように,具体的な状況にたいして愚かなのである.(オルテガ)」
「幾何学(=数学)について腹蔵なく申せば、私は、これを頭脳の最高の訓練とは思いますが、同時にそれが本当に無益なものだということをよく存じていますので、、、(パスカル)」
「犬っころなら三日も四日も寝ていられようが・・・寝て暮らすにゃあ、人間てのは血が熱過ぎる・・・(村田京介)」
「小泉純一郎は朝食をたくさん食べる。ヒトラーも朝食をたくさん食べた。だから小泉はヒトラーと同じだ(朝日新聞)」
「畜生、今日もまた Perl でスクリプトを書いてしまった。ああもう、 Python がデフォルトでインストールされないシステムはゴミだよ。いや、それではゴミに対して失礼だ (リサイクル可能なものが多いからな) 。よし、こうしよう。 Python がデフォルトでインストールされないシステムは核廃棄物だ。いや、核廃棄物の中にも再利用できるものはあるな。なんて事だ、俺は本当に無価値なものを発見してしまった・・・(プログラマー)」
「ヨーロッパかアメリカの気候のよいところで、
のんびりぜいたくに遊んで一生を暮らすこともできるだろうに・・・それがお前たち下等なブルジョワの最高の幸福だ。」
「もし二人がいつも同じ意見なら、一人はいなくてもよい。(チャーチル)」
「悉く書を信ずれば、即ち書無きに如かず。(孟子)」
「一般的に、時間が経てば経つほど、バグを直すのにかかるコスト(時間とお金)は増える。
例えば、コンパイル時にタイプか文法エラーが出たら、それを直すのはごく当たり前のことだ。
バグを抱えていて、プログラムを動かそうとした最初のときに見つけたとする。君はわけなく直せるだろう。なぜなら、君の頭の中でそのコードはまだ新鮮だからだ。
2、3日前に書いたコードの中にバグを見つけたとする。それを追い詰めるのには少し時間を要するだろう。しかし、書いたコードを読み直せばすべてを思い出し、手ごろな時間で直せるだろう。
でも、2,3ヶ月前に書いたコードの中のバグについては、君はそのコードについて多くを忘れているだろう。そして、直すのはこれまでよりずっと大変だ。このケースでは、君は誰か他の人のコードを直していて、書いた本人は休暇でアルバ島(訳註:ベネズエラ北西カリブの島・リゾート地)に行っているかもしれない。この場合、バグを直すことは科学"science"のようなものだ。ゆっくり、順序立てて慎重にやらなければならないし、直す方法を見つけるのにどのくらいかかるのか、確かなところがわからない。
そして、すでに出荷されたコードのバグを見つけたら、それを直すには途方も無いコストを招くだろう。(Joel on Software)」
「男と女には春夏秋冬がある。
春にしっかり育てて、
夏に燃え上がり、
秋に”情”という実がなり
冬はそれを食べて生きていく。(柳沢きみお)」

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もはや自主セミナーの補助ページではなくなって久しいモノ。
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意識はヒルベルト空間で表せるか?
ということを友達に聞かれたので、次のような文面を送った。どうだろう?コメント欄で反論を受け付けております。

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自由意志を量子力学の射影作用素として考える考え方は、1930年ごろからあったと思われますが、これは「ウィグナーの友人説」によって反論されているます。

簡単に説明すると、
「意思決定=自分を表すヒルベルト空間において波束が収縮する ということだが、それだと世界全体を表す波動関数を自分の意思決定によって収縮させることにもなるのではないか?」
ということだす。つまり、自分を表すヒルベルト空間の状態関数というのは世界を表す状態関数の部分ベクトル空間なので、世界の波束が収縮することなくしては意思決定は起こらないはずだよね?じゃあ私が意思を決定したことで世界の状態が確定するの?というパラドックスなのでごわす。

しかし、このウィグナーの友人説を逆手にとって、量子力学のあたらしい原理としたのが有名なエヴァレットの多世界解釈論文(本人はそう呼んではいず、宇宙論的量子力学みたいなことを言っていますが)ということに、僕がその論文を読んだ限りではなります。

簡単に説明すると、世界の状態関数は常に重ね合わせの状態であり、我々が意思を決定したと思っているのは、我々の意思が「決定した状態と決定していない状態の線型結合(ただし前者の係数が圧倒的に大きい)」状態に置かれているということです。
意思の時間発展はハミルトニアン、つまり線型作用素で記述されるので、矛盾は起こらないだす。

ただ、エヴァレット説は人間が古来から持っている意識の概念とは矛盾しますよな。しかし、僕は人間は経験によって構成されたフィルターを通してしか自然不自然ということを判定できないので、エヴァレット説でいいと思います。

エヴァレットの論文は僕がコピーをとっているので欲しかったらドウゾ。

 
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一休み
7月9日

スペクトル定理の証明にあまり興味がもてないのでこっちは放ったままになっているけれど、数値解析で関係ある話題が出てきたのでここに書くことにする。今日は数値解析の、主に演算子ノルムと、演算子ノルムが1以下の場合を利用した縮小写像に関する問題を解いたり、友達のノートを見て勉強したりした。ノートのありがたみが目にしみマフ。

基本的には演算子ノルムは具体的な式の形が定義しづらいんだけど、無限ノルム

(|x|^p)^(1/p) (p -> ∞)

の状況下では、ものすごい簡単な形(列ベクトルの各成分の絶対値の合計!!)になることを知ったのだった。ついでに証明までさせられた。いままでmaxというのは適当なノルムだと思ってたけど、極限だったとは。単純なヘヴィサイド関数がL2からの極限の超関数なのと似ていますね。

この本も、よく観るとmaxノルムは∞マークがついている。常識ということですね。こうして常識がだんだん備わっていきます・・・。
 
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シュアーの補題再び
6月18日

実家に帰ったら耳が腫れる病気(?)にかかった。今まで感じたことのなかった耳の痛さ。20年間生きててこんなに耳が痛かったことはない・・・なんといっても、あまりの耳の痛さに寝ていられなくなって6時半に目が覚めたのだ。ヤバい。ヤバく痛い。氷で冷やしたりしていても全然ラチがあかないので冷やしながら寝ていた。14時半ごろに目が覚めた。母は仕事で出かけ、父はサッカーの特番(父親はサッカー部)を観ていたので冷やし中華を作り喰い、パスポートを取りに出かけた。16時半が期限だったがギリギリで受け取った(16000円もしたよ!)
電車の中で、Levyの論文を読破した。これはすごい。自信を持って100%理解したと言えると思う。渋谷に着くと、メシ時まで時間があった(17時半)のでいつものVELOCEへ出かけた。ちょっとあまりにも適当な自分の容姿が気になったが、すぐに数学的構造を読み始めた。
スペクトル定理まで行って、叫びそうになった。これはすごい。瞬間、稲妻に打たれたようになった。この衝撃はストークスの定理の再来だ。ストークスの定理もすごいが、スペクトル定理は適用範囲がはっきりしているところがさらにすごい。やっと量子力学の一つの疑問(去年勉強し始めたときから抱いていた)が解けた気がした。
結局、極分解の一意条件まで終えた。ルートの存在証明が超鮮やか。ノイマンの定理、複素解析の知識が見事に融けあう。掛け算演算子の極分解。さもありなん、と言う感じだ。電車の中で、演算子の簡約を読むと、そこには冬の表現論でやったことが書いてあった!無限次元の表現論。信長さんがオススメしていた表現論セミナー、立ち読みしたらすごそうなことが書いてあった。これを読み終えたら買いたい。しかし、この本ももう少し(あと120ページほど)で(高校の頃からの憧れであった)クリフォード代数が出てくる。自分も成長したものだよ。

極分解をやっている間、10人ぐらいの外人がやたらとうるさかった。日本人が3人混じっていたが、なぜ人は英語でしゃべると得意げになったように大きな声でしゃべるのか?とてもうるさく、読書の邪魔だ。Excuse me. Please talk in less LOUDER English. You seem to think it's too natural that we should talk in English to you, don't you? Here in Japan, English has no priviledge excellence, as I do so in your country, you can speak its own lauguage in Japan.とは心の中で思うだけにした。言ってしまうと確実にボコられる(怪しい文法が伝わるかどうか謎だが)。アイツらぜってー日本人を馬鹿にしてるよー!分かってるのか分かっていないのか端っこでうなづいている音楽家っぽいおっさんはなぜもう少し静かにさせないの?

日米力格差の現実をまた見た(笑)

しかし、これでやっと上巻は180ページ。今日は3時間半かけて17ページ制覇。75%読み終えた。スペクトル定理の非有界演算子版の証明が残った課題なので、もうゴールが見えてきたといっていい。1ページ一分と仮定すると上巻は読み終えるまでに2400分=40時間もかかる。あ、でもそれしかかからないのか・・・2徹すれば読める内容なのか。そんなもんになんでこんな手間取ってんだ、俺。まぁでも、俺なりに焦らずゆっくりと理解して行こうと思います。

量子群もやりたい。はい、おやすみ。
 
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6月14日
途中報告。160ページまで読んだ。なんか一気に簡単になってきた気がする。ただ、演算子の今日収束と一様収束の違いが分からないのが苦しい。この本にはあまり書いてないので、図書館で何か探して読んだほうがイイのかも。

あまりに面白いので駅のベンチで読みふけってました。隣の人が何かずっとベンチに座ってやばかったんだけど、それすら気にならなかった(笑)数学は怖い。象牙の塔への入り口だ。
 
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ポアンカレのひらめき理論
6月11日
シャワーを浴びていたら、レゾルヴェントの謎がすっきり解けた。佐々先生の言う「理解」、すなわち「100%の言い表し(一意性)を与え、あるものがそれかどうかの判断基準も言える」と言う状態になった。

渋谷に買い物をしに行った帰り、ホームで本質的領域の意味がひらめいた。位置演算子が固有値を持たないのに連続スペクトルをもつ理由をこれからは答えられるぞ。

良きかな良きかな。この本と出合わなかったら、量子力学はあいまいなまま理解した気になってしまったと思う。
 
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共役演算子と閉演算子
6月9日
マジわかんねっすよレゾルヴェント。
今日は久しぶりに遊んできた。電車の中でひたすら量子力学の数学的構造を読んでいたんだが・・・
とりあえずレゾルヴェントまでのページは完璧にしておくか。本書の構成と違ったやり方で横断してみたい。
まず、有界演算子の話だけに限る。

2章 スペクトル理論 p95~p114
まず共役演算子の定義。掛け算演算子Fの共役は複素共役の関数を書ける演算子、など。有界演算子とは、全てのベクトルに対して、Aによるノルムの伸び率がある定数で抑えられること、つまりノルムの伸び率の関数がヒルベルト空間上有界であることを示しているから、掛け算演算子のFに制限がかかる。ぱっと見だとFが有界な関数ならよさそうだが、それは制限しすぎで、ゼロ集合を除いた部分が定数で抑えられればいい。これを、本質的に有界な関数という。
さて、線型演算子Aの属するバナッハ空間をB(H,K)と書けばその共役A*の属する空間はB(K,H)である。さらに、共役を2回取れば自分自身に戻る(A**=A)。ゆえに、共役演算子のノルムは元の演算子のノルムと等しい。
つまり、有界演算子は共役演算子を取っても定義域が縮小せず、よい振る舞いをする。さらに演算子の和と積に関しても、
(A+B)*=A*+B*
(BA)*=(A*)(B*)
が成り立つ。和の定義域はD(A)かつD(B)の共通部分、積の定義域はD(AB)である。
有界演算子がユニタリである(=内積を保存する)ことは、(U*)U=I in H、U(U*)=I in Kが成り立つことと同値である。無限次元でなければ、片方の条件式で十分であるが、無限次元であるので両方必要。
有界演算子は全て閉じている。つまり、AψnはKの中のベクトルに収束する。これは明らか。ゆえに、有界な演算子を任意の閉演算子に加えても、それは閉演算子のままである。このことを、閉性は有界演算子による摂動で安定である、という。
有界演算子は閉演算子であるが、閉演算子が有界となる十分条件は、定義域がヒルベルト空間全体となることである。これは、閉グラフ定理の結果である。

次に、閉演算子の話だけに限る。閉性がどうこうというより、これを満たさない演算子は何か、いまだに私には分からない(閉演算子の制限によって作れるものを除いて)。

2章 スペクトル理論 p95~p114
この章では無いが、本質的に有界でない関数による掛け算演算子について考える。位置演算子xは明らかにそうである。1/xもまさにそうである。
まず、この場合被関数を適当に選ぶ(階段関数で十分)ことによって「共振させ」、L2ノルムを発散させることが出来る。本質的に有界な関数は∞をとる集合がゼロ集合なので「共振できない」、というのが肝である。
このことから分かるように、階段関数が適当に選べるからこれは必ず非有界演算子となる。
この共振する関数は除いて定義域とする。しかし、定義関数χn≦Nを使って値の高いところだけ除いてやれば共振関数(共振、というのは私の造語)は除けるから、定義域はどう頑張っても稠密になってしまう。
さて、非有界演算子だと共役演算子の振る舞いが難しい。極端な場合は、共役演算子がゼロになってしまう場合で、例示されている。定義域は、稠密になるときもならないときもある。つまり、稠密になるとは限らない。

閉演算子は、グラフが閉集合になる演算子のことであるといってよい。この定義は非常に自然で直感的である。線型演算子のグラフとは、直和H+Kの部分集合のうち、H=0の切片が原点に限るものであるといってよい。つまり一価関数ということで、当たり前である。さらにH=0以外の値での一価性は、Aの線型性とH=0の結果から従うわけである。なぜならば、2価の点があれば原点に平行移動して矛盾を導ける。また、閉包が閉演算子になるとき可閉演算子という。可閉演算子の最小の閉拡大が閉包である。

特に、定義域が稠密な演算子の共役演算子は、必ず閉演算子になる。有界だったときの事実を思い出せば、共役演算子の値域の稠密性が閉性を表していることが分かる。ゆえに、掛け算演算子は必ず閉演算子である。

可閉であることの必要十分条件は、D(A*)が稠密なことである。これも上と同じように、値域の稠密性を点列の収束に使っている。可閉な物の例としては、偏微分演算子である。
 
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量子力学の数学的構造1
2006/6/07
この本の併読本として次の本をはじめた。

朝倉物理学体系「量子力学の数学的構造」

これは、コヒーレント状態が粒子数固有ケットの和で張られるのはおかしいと言う疑問から読み始めたものだ。
先週の土曜日のバイトに行く電車の途中で読んでいたのだが、意外に読みやすく、その日実家につく前にはもう60ページは読んでしまっていた。日曜日とあわせて、100ページを読み終えることが出来た。
しかし、2章になってからがとても難しい。リゾルヴェントにはNシンさんも苦労したらしい。というかよくわからんとおっしゃっていた。KMさんによればリゾルヴェントはグリーン関数だよ、で終わりなのだとか。最近本当に頭が悪く思えてきたぞ!

これと関連しているかどうかは知らないが、単子論でまた新たな発展があった。こんなことを考えてるやつは日本で俺しかいないに違いない。仲間がいたらいたでまた楽しいのだけれど。ひとつは実無限的な結合の可能性とそれに伴う視点変換理論の適用によって不変定数を得る方法(これは97年のレヴィ・ルブロンドの方法と同じだ)、もう一つは単子の内部が、早々とは実無限と確定できず、もっと高い濃度の無限である可能性が分かってきたことだ。
何せ、人間はそうしたものを創造出来るのだから!

 
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2006/3/18 フォック空間と量子場 その1
最近、ここの目的が、ゼミのまとめというよりは、自分の知識を定着させるための忘備録という感じになってきた。ということで、ごく個人的な勉強過程についても、書いた方が(自分のためには)いいのではないか、という気になってきた。これは単なる日記に過ぎないけれども、自分はほかの人の勉強録を見るのは参考になると思うので、ウェブに公開してみるものである。

フォック空間と量子場 新井朝雄

この本は、フォック空間の立場から場の量子論へ至る本である。日本の独創的研究者が手がけた、歴史に残る本になりそうな予感がする。生協に頼むと、出版社が品切れで、在庫が1冊しかないとのこと!思わず買ってしまった。

どちらかというと純数学的なこの本は、少しずつでよいから着実に、想像力を豊かにしながら読むことを欲しているような気が・・・する。

さて、この本の0章は場の量子論のsynopsisという感じである。非線形スカラー場、とその量子化、あと自由場の形式的量子化(生成・消滅演算子)までいって、挫折した(残りはSchwinger方程式とか)。はっきりいって自分には超関数やL^2空間などの知識が無さ過ぎる。。。5学期にフーリエ変換の授業があるので、その間にLiebのAnalysisを使って勉強しようと思う。したがって、この時点で、

「5学期終了、具体的には6月中ぐらいまでの期間に、フォック空間のイメージを掴み、数学的な道具が揃ったら再び0章に戻って場の量子論との関連を確かめてみる」

という戦略をとることにした。

今日は1.ヒルベルト空間のテンソル積、の最初の方を読んだ。自分のためにまとめをしてみる。

1-1節 P33~45
0.複数個のヒルベルト空間が与えられたとき、広大なヒルベルト空間を直和によって作ることが出来るが、積の概念を用いて作ることは出来るだろうか?というのがテンソル積空間への着想である。
1.2つのヒルベルト空間の直積上の双線型汎関数の全体はベクトル空間を成す。これをL*と書いて代数的テンソル積という。
2.その例1。複素行列を使って有限次元空間二つのテンソル積を定義。
3.その例2。台が有界な関数によるベクトル空間を作り、その上の双線型汎関数を積分核Kによる積分で定義。
4.代数的テンソル積の完備化として、テンソル積ヒルベルト空間を定義。代数的テンソル積はテンソル積の稠密な部分集合である。稠密とは、任意のテンソル積元に近づく点列が、代数的テンソル積の中で取れるということである。要は、代数的テンソル積にその閉包を付け加えたものがテンソル積。
5.テンソル積の基本構造について。例えば、H1とH2から完全正規直交系を採ってきて代数的テンソル積を作ると、H1・H2の完全正規直交系にちゃんとなってくれること。
6.一般のn個のヒルベルト空間について、1から5を再現。問題なく成り立つ。
7.ヒルベルト空間のテンソル積の同型対応についての例。ヒルベルト空間の順序を置換して作ったテンソル積の上に向かうユニタリ写像が、一意的に存在することを証明。

この続きはまた明日、にすることにした。

 
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