プロフィール

suurizemi

Author:suurizemi
はじめまして。私の名前は松崎遥です。
2010年現在、東京大学大学院総合文化研究科の2年生です。
最近いろいろ総合しすぎてよく解っていません。
e-mailアドレスは、blckcloistergmilどっと混むです。出会い系サイトの攻撃によりコメント機能は使えませんので、こちらにご連絡下さい。

私の好きな言葉だけ・・・
「証明の海の中にこそ数学の生命が宿り、定理や予想は大海に浮かぶただの泡である(よみ人知らず)」
「曖昧な知識は何の役にもたちません。自戒を込めて(神保道夫)」
「連続関数以外では、微分積分法はむずかしい!(高木貞治)」
「10代で共産主義にかぶれない人間は情熱が足りない。20を過ぎて共産主義にかぶれる人間は知能が足りない。(よみ人知らず)」
「だから、あの人自身がアトラクターなんだよね(金子邦彦教授評。)」
「われわれは、ほとんど知識をもっていないことほど固く信じている。(モンテーニュ)」
「現代文明の根源であり象徴である近代科学は,知的に非凡とは言えない人間を温かく迎えいれ,その人間の仕事が成功することを可能にしている.
 その原因は,新しい科学の,また,科学に支配され代表される文明の,最大の長所であり,同時に最大の危険であるもの,つまり機械化である.物理学や生物学においてやらなくてはならないことの大部分は,誰にでも,あるいはほとんどの人にできる機械的な頭脳労働である.科学の無数の研究目的のためには,これを小さな分野に分けて,その一つに閉じこもり,他の分野のことは知らないでいてよかろう.方法の確実さと正確さのお陰で,このような知恵の一時的,実際的な解体が許される.これらの方法の一つを,一つの機械のように使って仕事をすればよいのであって,実り多い結果を得るためには.その方法の意味や原理についての厳密な観念をもつ必要など少しもない.このように,大部分の科学者は,蜜蜂が巣に閉じこもるように,焼き串をまわす犬のように,自分の実験室の小部屋に閉じこもって,科学全体の発達を推進しているのである.・・・(中略)・・・大部分の科学者は,自分の生とまともにぶつかるのがこわくて,科学に専念してきたのである.かれらは明晰な頭脳ではない.だから,周知のように,具体的な状況にたいして愚かなのである.(オルテガ)」
「幾何学(=数学)について腹蔵なく申せば、私は、これを頭脳の最高の訓練とは思いますが、同時にそれが本当に無益なものだということをよく存じていますので、、、(パスカル)」
「犬っころなら三日も四日も寝ていられようが・・・寝て暮らすにゃあ、人間てのは血が熱過ぎる・・・(村田京介)」
「小泉純一郎は朝食をたくさん食べる。ヒトラーも朝食をたくさん食べた。だから小泉はヒトラーと同じだ(朝日新聞)」
「畜生、今日もまた Perl でスクリプトを書いてしまった。ああもう、 Python がデフォルトでインストールされないシステムはゴミだよ。いや、それではゴミに対して失礼だ (リサイクル可能なものが多いからな) 。よし、こうしよう。 Python がデフォルトでインストールされないシステムは核廃棄物だ。いや、核廃棄物の中にも再利用できるものはあるな。なんて事だ、俺は本当に無価値なものを発見してしまった・・・(プログラマー)」
「ヨーロッパかアメリカの気候のよいところで、
のんびりぜいたくに遊んで一生を暮らすこともできるだろうに・・・それがお前たち下等なブルジョワの最高の幸福だ。」
「もし二人がいつも同じ意見なら、一人はいなくてもよい。(チャーチル)」
「悉く書を信ずれば、即ち書無きに如かず。(孟子)」
「一般的に、時間が経てば経つほど、バグを直すのにかかるコスト(時間とお金)は増える。
例えば、コンパイル時にタイプか文法エラーが出たら、それを直すのはごく当たり前のことだ。
バグを抱えていて、プログラムを動かそうとした最初のときに見つけたとする。君はわけなく直せるだろう。なぜなら、君の頭の中でそのコードはまだ新鮮だからだ。
2、3日前に書いたコードの中にバグを見つけたとする。それを追い詰めるのには少し時間を要するだろう。しかし、書いたコードを読み直せばすべてを思い出し、手ごろな時間で直せるだろう。
でも、2,3ヶ月前に書いたコードの中のバグについては、君はそのコードについて多くを忘れているだろう。そして、直すのはこれまでよりずっと大変だ。このケースでは、君は誰か他の人のコードを直していて、書いた本人は休暇でアルバ島(訳註:ベネズエラ北西カリブの島・リゾート地)に行っているかもしれない。この場合、バグを直すことは科学"science"のようなものだ。ゆっくり、順序立てて慎重にやらなければならないし、直す方法を見つけるのにどのくらいかかるのか、確かなところがわからない。
そして、すでに出荷されたコードのバグを見つけたら、それを直すには途方も無いコストを招くだろう。(Joel on Software)」
「男と女には春夏秋冬がある。
春にしっかり育てて、
夏に燃え上がり、
秋に”情”という実がなり
冬はそれを食べて生きていく。(柳沢きみお)」

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physics at 伊豆~西嶋和彦「相対論的量子力学」
センパイたちに連れて行ってもらった合宿にてやった。けっこう難しい本で、ほんの少しのページ数の間にだいぶ議論が紛糾していた。結局1章が終わるか終わらないかのところで合宿終了となった。深海魚はまずかったが、いい気分転換になった。マージャンは負けた。東1ドラ8トビで言う言葉も無い。

結論としては、この本は名作だと思う。特に、最初の方の方程式を巡る試行錯誤のような部分が面白い。ただ、相対論的な部分では全て共変ベクトルを使っており、それが明示されていないので最初は非常に分かりにくかった。テンソルの導入はページ数を食うから仕方ないけれども。

先輩たちはもうこの本をやる気は無いらしいが、個人的には電磁場を正準形式にしてから量子化する第2章は面白いと思う。なんといってもこの本の目的、「場の量子論を導入しないで議論を進めるとどのような困難にぶち当たるか」ということについて、まだそれが明らかになっていない。西島博士はものすごく頭のよい人であったらしく、その議論にはところどころ飛躍が見られる。時間を見つけて、続きを読んでいきたいところだが、だいぶ時間がかかりそうである。Ryderの3章を終わらせてからにしようかな。

1章のまとめ
1.3アインシュタインの関係式をシュレディンガー方程式に適用する(エネルギーについて一次元化する)と、確率的解釈と因果律の崩壊が起こる。そこで、アインシュタインの方程式をそのまま正準量子化するとクライン・ゴルドン方程式を得る。

1.4Diracのおきかえをすると、この方程式は確率密度ベクトルjの発散が0という、連続の方程式を成立させる。このjはマクスウェル方程式のjと一致するので、電流密度をあらわすと考えられるが、このjは正から負に時間変化することがある。ゆえに、反粒子の存在が暗示される。

1.5クライン・ゴルドン方程式の難点は、確率的解釈が成り立たない(ρが正定値でない)ことである。ゆえに、連続の方程式とρ正定値を仮定してシュレディンガー方程式のハミルトニアンを求めると、H=αp+βmとなり、Dirac方程式が得られる。これは、多成分の波動関数に対するシュレディンガー方程式である。αとβの間に反交換関係が成り立つ。1.6m=0の場合はワイル方程式と呼ばれ、パリティの保存を破る。

1.7ディラック行列γを導入。ここでローレンツ変換に対応する、スピノールの変換行列Sを求める。ディラック行列はサクライでやったとおり、アジョイントな変換をする。さて、Sをどのように求めるかというと、ディラック方程式が共変となるように選ぶ。また、ディラック方程式の複素共役も共変であるように選ぶ。すると、Sの必要条件が求まるが、Sはユニタリーとは限らない。これは、ローレンツ群が非コンパクトだからである。Sの具体的な形は、まず無限小変換について求め、弧状連結なものに関してはexpに入れて求め、空間反転についてはS=γ4となっている。

1.8ディラック行列からスカラー・ベクトル・反対称テンソル・擬ベクトル・擬スカラーを作ることが出来、これらは一次独立な4次元行列の数16と一致する。よって、ディラック行列はパウリ行列と同様、基底である。さらに、ディラック行列はSU(2)×SU(2)と同型。空間回転は波動関数の上2成分と下2成分を混ぜないが、ローレンツ変換は混ぜてしまうので、波動関数が4成分必要になる。

1.9ディラック方程式では全角運動量は保存せず、ハイゼンベルクの運動方程式から、J=L+1/2σが運動の恒量である。つまり、スピンは仮定でなく、ディラック方程式から予言される必然となる。自由ディラック方程式を考えると、解は平面波と運動量依存スピノルに変数分離できる。このスピノルを簡単にするために、ハミルトニアンを対角化する変換を、FWT(谷)変換という。このとき正エネルギーに対応する2次元部分空間が4成分スピノルの上半分、負エネルギーに対応するのが下半分である。さらに、この2次元の縮退は、ヘリシティーかスピンを考えれば区別できる。ヘリシティが一般の方向を向いているときは、サクライででてきたスピノルの回転公式を使って求められる。ヘリシティ固有状態が2つであることから、ディラック方程式はスピン1/2の粒子をあらわすことが分かる!!
自由粒子の締めとして、xの時間微分とpが比例しないことを見る。ハイゼンベルクの運動方程式から、xの時間微分は[H,x]=αであるが、これは固有値+-1なのでおかしい。ここから、速度はαの期待値であるとするジグザグ運動が出て来る。

1.10静電場ディラック方程式。まず荷電共役を考え、陽電子が解として許容されることをみる。まず非相対論的近時の条件下で解くと、スピンと電磁場の相互作用の項が残り、磁気モーメントが自然に導き出される。ここで自然に1/2という係数が出て来る点において、ディラックの理論は優れている。近似はシュレディンガー近似<パウリ近似で厳しい。非常に面倒な計算が必要だった。パウリ近似に注目すると、スピン・軌道相互作用とダーウィン項が出る。この2つの項について期待値計算が出来なかったため、水素原子の波動力学を復習しようと思う(というか厳密な取り扱いは未修である)。静磁場ディラック方程式は、パウリ近似の必要が無く、ランダウ準位が出て来る。ここで、2次元振動子の話が紛糾したが、結構不毛だった。

1.11ディラックのホールセオリー。射影演算子を使って、負エネルギー解の切捨てが全く失敗であることを見る。このことからディラックの海の話が導入される。対発生など。

1.12中心的静電場における厳密解。J^2、Jz、L^2の同時固有関数であるパウリスピノルをパリティを考えながら導入。σrという演算子が隣り合った固有関数を交換する演算子であることを利用して計算する。また、サクライの公式が出て来る。ポテンシャルの形を代入すると、合流型超幾何級数解が出て来る。エネルギー準位公式も得られ、Zが小さいときボーアの公式と一致する。ボーアの公式ではZに制限が無い、つまりいくらでも大きい原子がありうるが、ディラック理論では角運動量がゼロのときZは137以下でなければならない。この137の逆数を、微細構造定数という。(角運動量が慢性的にある場合は、原子番号は137を超えることがあるらしい。)

1.13散乱断面積。粒子を波動と考えて散乱波の式を作る(リップマン・シュウィンガー方程式による)と、確率流密度jzが速度と一致する(こちらはディラック方程式でジグザグ運動に対応)。また、jrは散乱断面積を表す。よって、電磁場に対しても例えばjを電流密度とすれば、場を量子化せずに散乱断面積が出せる。この本では、電磁場だけ量子化し、電子に対しては第一量子化でとどめる。こうすることによって、問題点が浮き彫りになるからである。(と、書いてある)

1.14外場によるディラック粒子の散乱(ボルン近似)。まず、遅延グリーン関数の性質をいろいろ調べる。これを導入すると、散乱波が、入射波とグリーン関数の積分によって表されるのである。この辺は、砂川電磁気学の8章でみっちりやったところであるから幾分楽(といっても、グリーン関数を厳密にしっくり着ていないから要復習だが)。複素積分の公式を思い出しながらすいすいいく。リップマン・シュウィンガーの話を考えると、やはり散乱ではグリーン関数が重要らしい。遅延グリーン関数は未来光円錐以外で0になるから、境界条件も表している。静的外場に対してポテンシャルの形を代入すると、静エネルギー射影演算子が出て来る。ここでカシミール演算子の公式を使って微分断面積を計算すると、ラザフォードの公式のスピン・ローレンツ収縮補正が出て来る!この散乱は、スピンの存在により左右非対称性が生じる。

1.15未修

1.16ファインマンの理論を使うと、反物質は未来から過去に流れる粒子となり、先進グリーン関数を使うことになる。この方程式はホールセオリーと殆ど変わらない結果を出すが、電磁場が量子化され、電子が複数個存在すると食い違う。どちらが正しいかはそれまで分からない。

第2章まとめ

2.1電磁場を正準形式で記述すると、無限個の調和振動子のエネルギーの和の形をしたハミルトニアンになる。その一般化座標qは、ベクトルポテンシャルの時間変化部分である。さらに、このハミルトニアンは電磁場のエネルギーに等しい。実用上は、形式的な相対論的普遍性を欠くが、クーロンゲージが便利である。独立変数の数を、減らせるのである。ローレンツゲージからクーロンゲージへの変換も、正準変換である(複雑)。

今のところはここまで読んだ。続きはいつになることやら。
 
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2006/4/5 JJ最終回
合宿を抜けると、そこは最終回であった。サークルオリを抜けると、そこは打ち上げであった。打ち上げしかでれませんでした!ごめんなさーい!!でも、打ち上げでは5人で中華料理を10品ぐらい頼みまくりました。やはりガツ炒めと白菜のクリーム煮が個人的には好きでした。またみんなで食いましょう。

総括
とてもよかった。まさか春休みでサクライが終わるとは思わなかった(僕は時間依存摂動をやっていないけれど)。皆さん、今学期の量子の講義は暇だと思うので合間に散乱問題でもやっててください(笑)センパイによると、リップマン・シュウィンガー方程式の計算は楽しいらしいです。

夏には集まってワインバーグでもやれればいいなと思います(笑)あ、以下ワインバーグをぱらぱら読んだ感想について。↓↓↓

ワインバーグは全6巻ですが、これは英語の1~3巻までを各2冊に訳したものです。ワインバーグ自身は、場の量子論を教えていて、英語版の1冊を終えるのに大学院の1年が必要だと感じると、書いています。

この本の特徴は、まずは特徴的な導入の仕方。普通の教科書では、場を正準形式に書いてラグランジアンを天下りに与えて、正準量子化をして量子場が得られるのですが、ワインバーグはその方法をなぜ信じなくてはいけないのかということを強調します。彼は、相対論的要請と量子論的要請を満たす唯一の論理が場の量子論であることを50年代から予想していて、この本を各段階になってついにそれが証明されたのだというのです。確かに、ラグランジアンがいくら美しくてもそれが恣意的では意味が希薄に感じられるから、このアプローチは魅力的に思えます。

第2のよいと思ったところは、歴史的経緯に詳しいところなどです。また、量子電磁気学などは本の中に内包していて、かなり一般的な記述になっています。みんなが見てみないと分からないけれど、なかなかよさそうな本です。分厚すぎるけれど。
 
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