プロフィール

suurizemi

Author:suurizemi
はじめまして。私の名前は松崎遥です。
2010年現在、東京大学大学院総合文化研究科の2年生です。
最近いろいろ総合しすぎてよく解っていません。
e-mailアドレスは、blckcloistergmilどっと混むです。出会い系サイトの攻撃によりコメント機能は使えませんので、こちらにご連絡下さい。

私の好きな言葉だけ・・・
「証明の海の中にこそ数学の生命が宿り、定理や予想は大海に浮かぶただの泡である(よみ人知らず)」
「曖昧な知識は何の役にもたちません。自戒を込めて(神保道夫)」
「連続関数以外では、微分積分法はむずかしい!(高木貞治)」
「10代で共産主義にかぶれない人間は情熱が足りない。20を過ぎて共産主義にかぶれる人間は知能が足りない。(よみ人知らず)」
「だから、あの人自身がアトラクターなんだよね(金子邦彦教授評。)」
「われわれは、ほとんど知識をもっていないことほど固く信じている。(モンテーニュ)」
「現代文明の根源であり象徴である近代科学は,知的に非凡とは言えない人間を温かく迎えいれ,その人間の仕事が成功することを可能にしている.
 その原因は,新しい科学の,また,科学に支配され代表される文明の,最大の長所であり,同時に最大の危険であるもの,つまり機械化である.物理学や生物学においてやらなくてはならないことの大部分は,誰にでも,あるいはほとんどの人にできる機械的な頭脳労働である.科学の無数の研究目的のためには,これを小さな分野に分けて,その一つに閉じこもり,他の分野のことは知らないでいてよかろう.方法の確実さと正確さのお陰で,このような知恵の一時的,実際的な解体が許される.これらの方法の一つを,一つの機械のように使って仕事をすればよいのであって,実り多い結果を得るためには.その方法の意味や原理についての厳密な観念をもつ必要など少しもない.このように,大部分の科学者は,蜜蜂が巣に閉じこもるように,焼き串をまわす犬のように,自分の実験室の小部屋に閉じこもって,科学全体の発達を推進しているのである.・・・(中略)・・・大部分の科学者は,自分の生とまともにぶつかるのがこわくて,科学に専念してきたのである.かれらは明晰な頭脳ではない.だから,周知のように,具体的な状況にたいして愚かなのである.(オルテガ)」
「幾何学(=数学)について腹蔵なく申せば、私は、これを頭脳の最高の訓練とは思いますが、同時にそれが本当に無益なものだということをよく存じていますので、、、(パスカル)」
「犬っころなら三日も四日も寝ていられようが・・・寝て暮らすにゃあ、人間てのは血が熱過ぎる・・・(村田京介)」
「小泉純一郎は朝食をたくさん食べる。ヒトラーも朝食をたくさん食べた。だから小泉はヒトラーと同じだ(朝日新聞)」
「畜生、今日もまた Perl でスクリプトを書いてしまった。ああもう、 Python がデフォルトでインストールされないシステムはゴミだよ。いや、それではゴミに対して失礼だ (リサイクル可能なものが多いからな) 。よし、こうしよう。 Python がデフォルトでインストールされないシステムは核廃棄物だ。いや、核廃棄物の中にも再利用できるものはあるな。なんて事だ、俺は本当に無価値なものを発見してしまった・・・(プログラマー)」
「ヨーロッパかアメリカの気候のよいところで、
のんびりぜいたくに遊んで一生を暮らすこともできるだろうに・・・それがお前たち下等なブルジョワの最高の幸福だ。」
「もし二人がいつも同じ意見なら、一人はいなくてもよい。(チャーチル)」
「悉く書を信ずれば、即ち書無きに如かず。(孟子)」
「一般的に、時間が経てば経つほど、バグを直すのにかかるコスト(時間とお金)は増える。
例えば、コンパイル時にタイプか文法エラーが出たら、それを直すのはごく当たり前のことだ。
バグを抱えていて、プログラムを動かそうとした最初のときに見つけたとする。君はわけなく直せるだろう。なぜなら、君の頭の中でそのコードはまだ新鮮だからだ。
2、3日前に書いたコードの中にバグを見つけたとする。それを追い詰めるのには少し時間を要するだろう。しかし、書いたコードを読み直せばすべてを思い出し、手ごろな時間で直せるだろう。
でも、2,3ヶ月前に書いたコードの中のバグについては、君はそのコードについて多くを忘れているだろう。そして、直すのはこれまでよりずっと大変だ。このケースでは、君は誰か他の人のコードを直していて、書いた本人は休暇でアルバ島(訳註:ベネズエラ北西カリブの島・リゾート地)に行っているかもしれない。この場合、バグを直すことは科学"science"のようなものだ。ゆっくり、順序立てて慎重にやらなければならないし、直す方法を見つけるのにどのくらいかかるのか、確かなところがわからない。
そして、すでに出荷されたコードのバグを見つけたら、それを直すには途方も無いコストを招くだろう。(Joel on Software)」
「男と女には春夏秋冬がある。
春にしっかり育てて、
夏に燃え上がり、
秋に”情”という実がなり
冬はそれを食べて生きていく。(柳沢きみお)」

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二次形式(岩波講座基礎数学)のつづき
10月28日 二次形式の続き

~カルタンの定理~

任意のn次元直交変換は、n個の鏡映変換の積で書ける。

証明
n=1の時は直交変換はプラスマイナス単位行列しかないので明らかである。
n=2の時。もしも2次元直交変換が一つでも固有ベクトルを持てば、それは固有ベクトルの直交補空間上の直交変換である。ゆえに1個の直交変換の積で書ける。
もしも2次元直交変換が一つも固有ベクトルを持たないならば、これが固有ベクトル(回転軸)を持つ元と、ある鏡映変換の積で書けることを示せばよい。あるベクトルaに対して、直交変換Pの性質から

a・a=P(a)・P(a) よって (a-P(a))・(a+P(a))=0

が成り立つ。これは、ひし形の対角線が直交することを表している。すると、ひし形の縦対角線a+P(a)に関する鏡映変換Sを使って、変換S・Pを作れば、

S(a+P(a))=a+P(a) かつ S(a-P(a))=-a+P(a) より、 S( a+P(a)-(a-P(a)) )= a+P(a)+a-P(a) すなわち S(P(a))=a
つまり、aはSPの固有ベクトルである。ゆえにSPは1個の直交変換の積で書け、P=SSPだから、Pは2個の直交変換の積である。
一般のnに対しては、上記の2をnで、1をn-1で置き換えればよい。■

この定理に、連続群論の美しさが凝縮されているといっていいのではないだろうか。群論の美しさは生成にあり、といっても過言ではなかろう。


直交行列がらみでもうひとつ。

~ケーリー変換~

交代行列Aに関してE+Aは正則であり、P=(E-A)(E+A)^-1は直交変換である。
(逆に、直交行列Pに対して、A=(E-P)(E+P)^-1は交代行列である。)

証明
交代行列Aの転置はーAであるから、

tP・P=t(E+A)^-1・t(E-A)・P=t(E+A)^-1・(E+A)・P=t(E+A)^-1・(E-A)

ここで、E+AとE-Aが可換であることを用いた。引き続き計算すると、

=t(E+A)^-1・t(E+A)=t((E+A)・(E+A)^-1)=E

となり、Pは直交行列であることが分かる。■


もしもAのノルムが1未満であれば、さらにフォン・ノイマンの分解定理が使えるので、

P=(E-A)(EーA+AA-AAA+・・・)=Eー2A+2AA-2AAA-・・・
tP=t(E+A)^-1・(E+A)=t(EーA+AA-AAA+・・・)・(E+A)
=(E+A+AA+AAA+・・・)・(E+A)
=E+2A+2AA+2AAA+・・・

が得られ、この二つを掛け合わせると、ちゃんとEになるのである。
 
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場の量子論
10月25日
もう10月も終わる。どうりで寒いわけである。今日も僕はTシャツ1枚で、自転車をこいで学校へ行った。これで風邪を引かないのだから、我ながら元気なものだ。

今日は初めてお弁当を作った。といってもチャーハンが100パーセントだったけれど。結果は・・・ふやけてあんまりおいしくなかった。どうやら作り立てをつめてはいけないらしい。今度から、弁当のチャーハンは前日に作っておくことにする。(あ、それじゃあ今から作らなきゃ、ダメじゃん。)

~米とぎ~

ふう、米を研いでいたら12時になってしまった。

今日は、2時間目に遅刻してついた。米谷先生の授業は、アハラノフ・ボーム効果をWKB近似で出していた。経路積分でも出せるので、WKB近似は必然ではないそうだ。WKB近似で出すやり方は、波動関数に対するゲージ変換の影響(位相のずれ)を求める方法だ。このずれは波動関数自体を変形するが、シュレーディンガー方程式を不変に保つという意味でゲージ不変である。経路積分を用いる方法は、経路積分

∫Dx(exp(iS))

をゲージ変換して、位相因子exp(eφ)が全体にかかることを利用する(自然単位)。

昼休み。今日は何にもやる気がしない。3時間目が始まりみんなが授業に行くが、やる気がしなかったため控え室に残る(プログラミング演習はどこで解いていても自由)。そしたら情報出身のT君が部屋に残っていたので、天気が良かったので気分転換に芝生に寝そべりに行くことにした。結局日が落ちるまで寝そべったままだべり、いい足だーとかいいながら16号館に戻った。このときには完全に回復していたと思う。

控え室で、真面目にプログラミングをする。Tは授業へ行った。ファンデアポル方程式のプログラムがさらに強力になって、別ウィンドウでリターンマップを表示するようになった。T田が途中から来てとなりで見ていたが、いろいろ助言をいただき、最後には商用プログラムのようになってしまった(笑)。リミットサイクル上では時間が進んでいるのかわからないので色を変えながら軌道をプロットしながらアニメーションするという、高度なプログラムになった。

6時半になり、プログラムが組み終わった。T田帰る。気分転換に多様体のゼミを覗く。C-r級とかをやっているようだ。控え室に帰ると、KさんがRyderの調子はどうかと聞いてきた。

相変わらずシュヴィンガーの汎関数微分の法則に出てくるJがよくわからんという話をすると、不意に昔からの疑問が思いだされ、それを尋ねた。それは、

∂μAνは量子力学ではどのような演算子か

ということである。(これを見てゼロ演算子だとか、オブザーバブルでないとか即断するのは良くない傾向だと思う。なぜなら、場の量子論は無限自由度の理論であり、基本変数(xやp)の概念が根本的に異なるからである。例えば、非相対的量子論の生成演算子と場の量子論の生成演算子は意味が全然違い、非相対論的量子論で生成演算子は"ラダー"であるが、場の量子論では対生成を表す演算子だからである。)

これは大変長い話になった。まずKさんは僕にplaquetteの概念を教えるために、フェルミオンに関する4次元ラティスゲージ理論を教えだした。適度に突っ込みを入れつつ、修得。これを使うと、ゲージ理論というのはゲージ変換の任意性の押し付け合いであり、一般相対論ではエネルギーストレステンソルとクリストッフェル記号のうちクリストッフェル記号がゲージ変換の任意性を持つのに対し、ゲージ理論では波動関数の位相とベクトルポテンシャル(接続係数)のどちらが任意性を担ってもよいことになる。この、物質が任意性を担うというのが量子論の特徴である。

この、一般相対論で言えばエネルギーストレステンソルがゲージ変換に対して任意性を持つという視点を採用すると、WKB近似的に与えた波動関数の位相変化は、格子上ではplaquetteという関数Uをかけることに相当する。

φ(x+μ)=Uφ(x)=φ(x)+iaeAμφ(x)
Dμφa=φ(x+μ)-φ(x)+iaeAμφ(x)=(U-1)φ(x)+iaeAμφ(x)
=2(U-1)φ(x)

アハラノフ・ボーム効果と同じ原理で、正方形の格子をグルッと回ってきて元に戻ることで得られるU□は、

exp(格子中の磁束)

である(おおざっぱ)。このとき、任意関数χによるゲージ変換を

g=exp(ieχ(x))

で与えると、群の結合律から

g^-1(x)Ug(x+μ)

となる。ここで、局所的ゲージ変換でU□はゲージ不変である、とするのが普通の物理的直感なので、

U□=g^-1Ugを4回かけたもの=g^-1(x)U□g(x)

すなわちU□はU□をその点のχ(x)で共役変換したものと変わらないことを要請できる。これは非可換ゲージ場でも成り立つのは明らかであろう。ゆえに、U□は正方形の辺が載っている二つの軸をxyztから選ぶことで指定できるので、Uμνと呼ぶ。Uμνは局所的ゲージ変換で不変であり、作用もまた(ゆえに、シュレーディンガー方程式も)不変に保たれる。

作用=DνφDνφ-FνμFνμ

一項目はUとU†の積になるので格子状を行って帰ってきたことに相当する。二項目は磁束(曲率テンソル)なので、Uμνほとんどそのものであり、その不変性から明らかに不変であると言える。

こう考えてみると、問題の演算子∂νAνは、Fμνの片割れ、∂μAνのトレースであることが分かる。それに対して作用は、FF†のトレースである。plaquetteを使ったのは、任意性をAではなく波動関数の位相におわせたかったからであり、これは格子の真ん中に付随するスカラー場であると考えることが出来る。このように波動関数に任意性を負わせても作用はゲージ不変となり、「ゲージ不変なものだけが観測される」という主張が表れる。よって、このときベクトルポテンシャルは観測量とならないであろう。だから∂νAνは演算子の積ではなく、それ自身を一つの独立した演算子と思わなければならないであろう。


この問題は、イジングモデルでは著しく簡単になる。簡単に言うと、低温ではスピンが揃っているが、高温では揃わない。しかし、実は高温ではエネルギーがフラットになっていると考えることが出来る。では何が揃っているかというと、それがplaquetteなのである。なぜなら、スピンがばらばらということは、磁束がゼロになっていることに相当するからである。これを、スピンとplaquetteのデュアリティーというらしい。

問題は、Uμνのような多成分のものに対してもデュアリティーが成立するかというものだが、それが多変数スピノールになるのではないかという話になってきた。スピンに対応するのは、フェルミオンの波動関数(スピノール)となる。


そのあとの、接続係数とヒッグス場が積を作るときに云々とか、経路積分をZと見たときにクオークとじこめが云々という話は僕の頭では理解できなかった。残念だ。で、結局ベクトルポテンシャルと生成演算子との関係を見直すということに落ち着いた。(つまり解決していない)ヒルベルト空間からフォック空間に変わることに、注意を要しそうである。フォック空間には、全体として場の状態を考えるという点に「相補性」が色濃く表れているような気がする。

まあ、格子で普通に考えるとUが出てくるので、どうやって生成演算子を引っ張り出すかということを考えれば解決しそうな予感がする。


気づいたら誰もいなかったので、二人で飯を食って帰った。話しているうちに、力学系のプログラムは3体問題のカオスを観測しようと思った。学科公開でもウケがよさそうだし。
 
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my first program in dynamics
こんな感じのを組んでみました。クリックすると青い軌跡が流れます。
関数形を対話的に入力できるのでなにげに便利です。20061022151310.png


 
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芸術とは何か
芸術とはなんだろうか。

この問いの意味は、世の中で芸術といわれているものには実は芸術でないものがあり、逆に世の中で芸術といわれていないものにも芸術たりうるものがあるのではないかということである。

まず、世の中には2種類のタイプの問いがある。一つはある答えが存在し、その答えが大多数の人々に受け入れられるというタイプ1の問い。もう一つは、答えは常に主観的で、答えが存在するかどうかさえもその人によるというタイプ2の問いである。例えば、芸能人には美男・美女が多いかというのが前者の問いであり、食べ物の味に絶対的な基準はあるのか、などが後者に当たる。

芸術とは何かを考えるにあたって、この問いが後者であることは疑いようが無い。世の中には芸術といわれるものに全く縁の無い人たちがいるからである。芸術といわれているものがすべて真の芸術であるとは限らないということを考えると、芸術といわれているもの全てに興味の無い人は明らかに芸術とは何かという問い自体を無意味なものだと思うであろう。

しかし、そういった適当な層の人々を除外することによって、芸術とは何かという疑問をタイプ1の問いにすることは出来そうである。というのがすぐに思い浮かぶアイディアである。

この時点では、除外する人々が具体的に決まっていないので、誰も除外しなければそのままであり、逆に自分以外の全ての人間を議論からはずしてしまえば、この問いはそのままタイプ2の問いになる。

この考え方は、数学的なイメージで言えば密着位相とディスクリート位相をとることに相当する。

このことに注目すれば、この問いが、対象としている人々によって大きく影響を受けるということに気が付く。例えば、フリージャズを考えた場合、楽器の演奏者たちや一部の音楽マニアにはウケが非常に良いが、大衆受けしたフリージャズがあるという話はあまり聞いたことが無い。そもそも、大衆にとってのフリージャズというのはものめずらしさ、もっと言えば「一発ネタ」であり、評価の仕方がそもそも異なっているわけである。

ということで、大衆の大部分を除外して、フリージャズを「理解」出来る人間だけを集めてきてフリージャズの芸術性について語る・・・ということが考えられるが、それが極論であることは明らかである。そうした議論を機能的に行っていけば、芸術とは結局個人の嗜好であると言うタイプ2の結論にならざるを得ない。このことは数学的イメージでは、ディスクリート位相だけを用いて議論することに当たる。

一般にこうした議論の難しさは、上に従えばどのような人々を除外して考えるか、つまり位相をどこにとるかという点が定まっていないところにある。しかし、ここであきらめる必要は無い様に思われる。

というのは、タイプ1からタイプ2への移行がどのように実現されているかは、上の考察でほぼ分かっているわけだから、この移行を真摯に分析すれば、芸術の大衆性の本性が見えてくるであろうからである。

タイプ1からタイプ2への「移行過程」は、次のように定式化することが出来る。
「芸術とは何かという問いとは別に、もっと単純なある問いPがあり、答えとしてYES、NO、どちらでもないの3種類を選択できるとする。そのとき、対象からNOと答えた層を除外することによって、徐々にタイプ1からタイプ2への移行が行われる。但し、自分は問いPに対してYESであるとする

この最後の下線は、自分の「近傍」をとろうとしていることを表している。つまり、「大衆ウケ」と「自分ウケ」の乖離を測る手段が問いPに拠る「分離」なのである。この考え方は、「芸術の大衆性」または「生物としての人間の本質による、芸術の必然性」といった考え方に実用的な思考規則を定める。

これがタイプ2への移行であることの証明は簡単である。NOと答えた人が居ない場合は問題ないし、仮に自分以外の全員がNOと答えたとしたら、その問いはタイプ2に帰着されたということが出来るからである。

今日はここまで。
 
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一日は短いのじゃ
10月19日
最近忙しくてネットをするどころじゃないのだが基礎科コミュニティを作ったので日記だけは一応書いておく。

9時半起床。寝坊。玉子かけご飯を食べ学校へ
2時間目 WKB近似。エアリー関数の解析接続。古典作用が虚数になるのはなぜかなどを質問する。米谷先生は質問を真面目に考えてくれるし、講義内容にごまかしが無くまた内容も興味深いのでこの授業は好きだなあ。
3時間目~6時 コンピューター。猪野先生と量子力学の話をする。午前中の疑問全て解ける。ゼロ点振動はコホモロジーとはあまり関係が無く、ただの留数であるということに落ち着く。なぜ留数という発想が思いつきづらかったのかというと、普通波動関数は極を持たないからである。しかし、WKB近似の場合は近似波動関数p^(-0.5)の項が付くために2枚のリーマン面が重なった図形が現れる。このせいで、波動関数の2価性が現れるのである。近似波動関数が極を持つということは、WKB近似の適用限界を表している。そのため、WKB近似がゼロ点振動を導くという表現は誤解を招くだけのものであると思われる。
また、猪野先生との議論で、2価であること自体にはあまり意味が無いということになった。
ほかには経路積分と時間演算子の議論をした。あと郡司ペギオ幸夫の話。
6時ごろ、素晴らしいプログラムを完成した。初めて自分の作ったプログラムに感動を覚えた。コンピューターの演習は楽しい。

帰宅、風呂。 カレーの材料を買い作る。カレーが完成するのに2時間を要した。その間に、洗濯を終わらせた。そしてお電話。

夜 輪講のワイルの本が初等的なのに難しい。いい本である証拠だ。少し分からない箇所があったので、おじさんから譲り受けた岩波講座をあさると、「2次形式」という聞いたことも無い本が見つかった。しかし、読んでみるとこれが軽妙な語り口とおくが深い演習問題を併せ持ったなかなかの名著。こういう本に出合えたときは本当にうれしい。

今週で、近所のマルエツが店じまいするらしい。早く引っ越したい。
 
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オタクになりたい
実験を免除されてコンピューター演習になったが、これが実験以上に時間がかかる。というのもcやUNIXに不慣れなので、時間がかかるのだ。将来のためにそれを克服しようということで、自分のパソコンをUNIXにすることにした。

結局日曜日を丸一日使ってしまった。

まずKnoppixをインストールしようとしたのだが、USB接続のDVDドライブからのブートが出来ない。起動時のF2で見ると、どうやらハードディスク以外のブートにBIOSが対応していないようだ。

ということでOSはcygwinにすることにした。しかしこれが曲者で、emacsはctrl+Cでクローズできないし、複数のターミナルが開かないときた。このうちctrl+Cでクローズする問題はエイリアスでCYGWIN=ttyを書き加えたら解決できたが、cygwinを閉じてしまうと元に戻ってしまうのだった。誰か、消えない方法を教えてほしい。

ほかには日本語環境を整えたり、eggxをインストールしたりしていた。しかしいまだにXがエラーを吐いて起動できないので困っている。明日の関数解析のために、早く寝たい。

こんな日記を書いているとかなりのパソコンオタクだと思われるかもしれないが、俺のパソコンの知識は実は情報処理で習ったものしかない(笑)。学生部屋からもってきたUNIX入門という本を片手に、勉強している。そもそも、超基本コマンドのtouchでさえ今日知ったという愚か者なのだ。いや、むしろ、コマンドにフラグつけたの今日が初めてだ。つまり、今まではファイルの消去を一個ずつrmでやっていたわけだ・・・。俺はもっとオタクになりたい。

しかし、次第にUNIX環境の方がwindowsより便利なことがわかってきたね。ただ、明らかにwindowsの方が優れているところはたくさんあるので、cygwinはよい選択だったと思う。

最近一発コンパイルが通ることが増えてきたし、確実にオタクへの道を俺は歩んでいけているはずだ。彼女とも二週間に一度しか会ってないからな。ああ、はやくアーノルドタンを実行したい。
 
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集合と位相2
今日はまぁまぁ骨があった。

内容は選択公理・ツォルンの補題・整列可能定理・有限的条件の極大集合の存在などなどの全て同値であることについて。また、順序数についてをやった。

ハメル基底について夜通し考えた(しかも新入生の歓迎会のあと・・・)ら、なぜ全順序部分集合が上に有界な集合を帰納的集合というのかを思いついた。べき集合と、超限帰納法に依拠する説明だが、我ながらうまいことを思いついたと思った。かっちゃん氏に話すと、好感触だった。要約すると、超限帰納法を有するという意味で整列集合に最も近いような順序集合が、帰納的集合だということだ。

順序数は簡単で、幾分つまらなかった。整列式もあまり興味がわかない・・・

やはりハメル基底が一番面白かった。この章は面白いので昨日の評価は訂正して、星4つぐらいにしなきゃ。
 
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集合と位相1
松坂和夫の集合と位相を、かっちゃんと二人で読み始めた。

たりーたりー言いながら読んでいたら、一日で105ページまで行った(笑)。やっぱり3年生にもなって読む本じゃないかもしれないという思いが脳裏をよぎる・・・はやく位相をやりたい。

珍しく、今のところ出てきている演習問題は全問解いている。このまま全部解けるといいな。この本は演習が無いと、ちょっと退屈で読めなかったかもしれない(といっても集合論について。の105ページまでの話だが・・・)。演習は、5問に1問ぐらい新しい発見のある問題があって、面白いと思う。トリビアルな問題が多いのも、本文の分量を減らしているという点で評価できる。


今のところ、この本の評価は
高校か大学初年度の数学の時間に内職で読む場合・・・☆5
3年生以降に読んだ場合・・・☆2

という感じだ・・・。


あ、超限帰納法はとても楽しかったよ。
 
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ど・・・どるとん!
今日河東先生の関数解析の授業に行ったら、一つ後輩のドルトンに5年ぶりくらいに出会った。彼とは中学・高校と一緒だったのだ。しかも彼は俺のはじめての「数学科の知り合い」だったりする。やるなドルトン!そして、今日初めて彼が数理の翼構成員であることを知った。凄いなドルトン!!!

まぁ来週の授業からは会えないんだが・・・貴重な体験であった。
 
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