プロフィール

suurizemi

Author:suurizemi
はじめまして。私の名前は松崎遥です。
2010年現在、東京大学大学院総合文化研究科の2年生です。
最近いろいろ総合しすぎてよく解っていません。
e-mailアドレスは、blckcloistergmilどっと混むです。出会い系サイトの攻撃によりコメント機能は使えませんので、こちらにご連絡下さい。

私の好きな言葉だけ・・・
「証明の海の中にこそ数学の生命が宿り、定理や予想は大海に浮かぶただの泡である(よみ人知らず)」
「曖昧な知識は何の役にもたちません。自戒を込めて(神保道夫)」
「連続関数以外では、微分積分法はむずかしい!(高木貞治)」
「10代で共産主義にかぶれない人間は情熱が足りない。20を過ぎて共産主義にかぶれる人間は知能が足りない。(よみ人知らず)」
「だから、あの人自身がアトラクターなんだよね(金子邦彦教授評。)」
「われわれは、ほとんど知識をもっていないことほど固く信じている。(モンテーニュ)」
「現代文明の根源であり象徴である近代科学は,知的に非凡とは言えない人間を温かく迎えいれ,その人間の仕事が成功することを可能にしている.
 その原因は,新しい科学の,また,科学に支配され代表される文明の,最大の長所であり,同時に最大の危険であるもの,つまり機械化である.物理学や生物学においてやらなくてはならないことの大部分は,誰にでも,あるいはほとんどの人にできる機械的な頭脳労働である.科学の無数の研究目的のためには,これを小さな分野に分けて,その一つに閉じこもり,他の分野のことは知らないでいてよかろう.方法の確実さと正確さのお陰で,このような知恵の一時的,実際的な解体が許される.これらの方法の一つを,一つの機械のように使って仕事をすればよいのであって,実り多い結果を得るためには.その方法の意味や原理についての厳密な観念をもつ必要など少しもない.このように,大部分の科学者は,蜜蜂が巣に閉じこもるように,焼き串をまわす犬のように,自分の実験室の小部屋に閉じこもって,科学全体の発達を推進しているのである.・・・(中略)・・・大部分の科学者は,自分の生とまともにぶつかるのがこわくて,科学に専念してきたのである.かれらは明晰な頭脳ではない.だから,周知のように,具体的な状況にたいして愚かなのである.(オルテガ)」
「幾何学(=数学)について腹蔵なく申せば、私は、これを頭脳の最高の訓練とは思いますが、同時にそれが本当に無益なものだということをよく存じていますので、、、(パスカル)」
「犬っころなら三日も四日も寝ていられようが・・・寝て暮らすにゃあ、人間てのは血が熱過ぎる・・・(村田京介)」
「小泉純一郎は朝食をたくさん食べる。ヒトラーも朝食をたくさん食べた。だから小泉はヒトラーと同じだ(朝日新聞)」
「畜生、今日もまた Perl でスクリプトを書いてしまった。ああもう、 Python がデフォルトでインストールされないシステムはゴミだよ。いや、それではゴミに対して失礼だ (リサイクル可能なものが多いからな) 。よし、こうしよう。 Python がデフォルトでインストールされないシステムは核廃棄物だ。いや、核廃棄物の中にも再利用できるものはあるな。なんて事だ、俺は本当に無価値なものを発見してしまった・・・(プログラマー)」
「ヨーロッパかアメリカの気候のよいところで、
のんびりぜいたくに遊んで一生を暮らすこともできるだろうに・・・それがお前たち下等なブルジョワの最高の幸福だ。」
「もし二人がいつも同じ意見なら、一人はいなくてもよい。(チャーチル)」
「悉く書を信ずれば、即ち書無きに如かず。(孟子)」
「一般的に、時間が経てば経つほど、バグを直すのにかかるコスト(時間とお金)は増える。
例えば、コンパイル時にタイプか文法エラーが出たら、それを直すのはごく当たり前のことだ。
バグを抱えていて、プログラムを動かそうとした最初のときに見つけたとする。君はわけなく直せるだろう。なぜなら、君の頭の中でそのコードはまだ新鮮だからだ。
2、3日前に書いたコードの中にバグを見つけたとする。それを追い詰めるのには少し時間を要するだろう。しかし、書いたコードを読み直せばすべてを思い出し、手ごろな時間で直せるだろう。
でも、2,3ヶ月前に書いたコードの中のバグについては、君はそのコードについて多くを忘れているだろう。そして、直すのはこれまでよりずっと大変だ。このケースでは、君は誰か他の人のコードを直していて、書いた本人は休暇でアルバ島(訳註:ベネズエラ北西カリブの島・リゾート地)に行っているかもしれない。この場合、バグを直すことは科学"science"のようなものだ。ゆっくり、順序立てて慎重にやらなければならないし、直す方法を見つけるのにどのくらいかかるのか、確かなところがわからない。
そして、すでに出荷されたコードのバグを見つけたら、それを直すには途方も無いコストを招くだろう。(Joel on Software)」
「男と女には春夏秋冬がある。
春にしっかり育てて、
夏に燃え上がり、
秋に”情”という実がなり
冬はそれを食べて生きていく。(柳沢きみお)」

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自主セミナー やって候
もはや自主セミナーの補助ページではなくなって久しいモノ。
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トーラスのホモロジー群(ゲージ理論とトポロジーを目指して)
トーラスのホモロジー群を計算していたら興奮して眠れなくなった。やばい。こんなものが世の中にあったとは・・・!!

トポロジーをコップとドーナツがスムーズに変形しあう世界などと形容する言葉があるが、これはなんと的確でしかも「本質を突いていない」言葉であろうか。トーラスを計算して、今日初めてそれが分かった。この言葉は正確に正しいが、確かに本質を突いていないのだ。

なんかむずむずする。異世界の扉に立ったときの高揚感か、それとも日常的なドーナツという形が連結に2色の塗りわけを持てる(文章だけでは正確に表現できない。これでは普通の平面も連結に2色の塗りわけを持ってしまう・・・)ということを初めて「発見」したことによる興奮なのだろうか?何度もトーラスの絵を描いて、ついにトーラス表面を各方向に1周する色の帯で、その補集合も同様な色の帯であるものを発見した。我々の直感から離れた、なんと不思議な世界が日常的な形の中に宿っていることだろうか!

ゲージ理論でこのことをやった時は、微分方程式の解の存在とリーマン面というアプローチでこの話題が語られたが、それよりも遥かに面白い。トポロジーがこんなに面白いとは予想もしなかった。

あー、学校の授業が始まるまで寝る暇が無い・・・
 
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単体論続き
久しぶりにスピリッツを買って読んでたらこんな時間になってしまった(いや、半分以上はこのページの更新のせいだけど)。やっぱりマンガはキライだ。

前回の単体論で、教科書を見直してみて自分体系と教科書体系がどれくらい異なってしまったかをチェックして、以下に列挙しようと思う。なぜ異なってしまったか、何を見落としていたかを考えるのは非常に勉強になる。



単体写像の定義を間違えていた。
1次元単体と0次元単体とを間違えていたのはいいとして・・・・自分体系では、行き先の頂点を結んでも単体にならない場合があるではないか。これはやばい。一つ改善点を得た。

訂正:定義:単体写像
単体的複体Iと単体的複体Jの間の写像を、次のように定める。
まずIに属する全ての1次元単体(頂点)を、Jの1次元単体に写像する。さらに、Iが含む任意の単体に対して、写像を線形に拡張する。
このとき、任意の単体|vi|∈Iに対して|Φ(vi)|なる単体がJに存在するならば、この写像を単体写像という。

定義:単体写像が多面体間に誘導する写像
単体写像を頂点ではベクトルからベクトルへの写像とみなし、さらに、各単体内部に対しては、写像を線形に拡張する。
これにより、単体写像はユークリッド空間上の写像となる。これを、単体写像が多面体間に誘導する写像と呼ぶ。




自分体系で名前をつけていなかったGi(単体的複体のうちi次元のもの全てが生成する自由アーベル群)は、ちゃんと名前がついていて、i次元鎖群というらしい。

 
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単体論の再構成
単体論を何も見ないで公理的・うわごと的に再構成します。
数学では使う教科書とかはどうでもいいことに気がつきました。最高の教科書は僕の中につくります。なんちゃって。

定義:単体

n次元ユークリッド空間の一次独立なベクトルの組{vi}に対して、その一次結合aiviで、Σai=1、全て正となるようなベクトルの集合を単体|vi|と呼ぶ。ベクトルの個数ひく1を次元と呼ぶ。

定義:面単体

n個の一次独立な{vi}の部分集合による単体を、|vi|の面単体と呼ぶ。
τがσの面単体であることをτ<σと書く。
これによって単体は順序集合となる。

定義:単体的複体

単体の集合Iで、
1)σ∈Iならばσの全ての面単体∈I
2)σ、τ∈Iならばσ∧τ∈Iもしくはσ∧τ=空集合
なるものを単体的複体という。

定義:n切片

単体的複体Iに対して、それに含まれるn次元以下の単体全てを単体的複体のn切片と定義する。

定義:多面体

単体的複体Iに属する単体に属する点全てからなる、n次元ユークリッド空間の部分集合を、Iの多面体と呼ぶ。

定理0:
τ<σであるとする。このとき、τの多面体はσの多面体の部分集合である。

証明:
τ<σより、ベクトル表示すれば、τの点はσの点を表す一次結合aiviにおいて、いくつかのaiを0に固定したものであるから部分集合である。


定義:単体の内部

n次元単体に対し、その内部とは、多面体の開核に属する点の集合である。

定義:単体の境界

n次元単体に対し、その境界とは、多面体から開核を除いた点の集合である。

定理1:

ある点が単体の境界に属することと、単体+面単体からなる単体的複体のn-1次元切片に属することは同じである。

証明:

ある点が単体の境界に属する⇒切片に属すること:
切片に属さない⇒開核に属する を証明する。
ある点Pがaiviという表示を持ったと仮定する。さらに、この点がn-1次元切片に属さないと仮定する。すると、この単体的複体のn-1次元切片からn-2次元切片を除いたものは、Pを含まないn-1次元面単体n+1個の集合である。
ゆえに、Pの係数aiは全て0ではない。よって、任意の0<ε
切片に属する⇒境界に属すること:
ある点Pがaiviという表示を持ち、n-1次元切片に属するとする。
このとき、あるn-1次元単体が存在して、Pを含むので、Pの成分aiで、0になるものが存在する。
ゆえに、P周りのεボールで単体に含まれるものは存在しないので、Pは境界に属する。■

再定義:境界
n次元単体の境界とは、そのn-1次元切片に含まれる点全ての集合である。

確認:
そのn-1次元切片は、単体的複体である。

証明:
もとの単体的複体をI、あたらしい単体的複体をJとする。
1)を満たすことは自明である。なぜならば、σ∈Jはσ∈Iかつσの次元がn-1以下であることと同じだからである。
2)も同じ理由で成立する。(つまり、単体同士の「整合性」は切片をとる操作で不変である。これは自明ではない。)

定義:単体・単体的複体に対する境界演算子
n次元単体に対して、そのn+1個のn-1次元面単体を対応させる写像を、単体に対する境界演算子∂と呼ぶ。また、単体的複体Iから単体的複体Jへの写像を単体的複体に対する境界演算子∂であるといえる。
(点関数ではない)


定義:単体の生成する自由アーベル群
単体σiがiに対して全て異なっているとする。このとき、線型結合ziσi(ziは全て整数)に対して、「和」を定義したものを、{σi}の生成する自由アーベル群と呼ぶ。

定義:単体の向き
n次元単体|vi|に対してn次元対称群を作用させたものを、|vs(i)|と書き、向き付けされた単体と呼ぶ。さらに、
|vs(i)|==sign(s)|vi|
と定義すれば、=±|vi|のみを考えればよいことになる。
(自由アーベル群で係数が負になっているものに対する解釈)

再定義:単体に対する境界演算子
単体とその全ての面単体からなる単体的複体の全ての元の生成する自由アーベル群上の線型写像(ゆえに準同型な)∂を、次のように定義する。
∂(0)=0
∂(|vi|)=(|vi|のn-1次元面単体全てをむき付けたものに対応する自由アーベル群の元)=Σsign(s)(|vi|のn-1次元面単体についての和)

定理2:
∂・∂はゼロ写像である。

証明:
面倒だが計算すれば簡単である。
このことによって、単体の生成する自由アーベル群上に鎖複体を作ることが出来る。

定義:系列
→によって準同型写像があることを表すとする。また、各Giを自由アーベル群とする。このとき、
…→Gi-1→Gi→Gi+1→…
を系列と呼ぶ。

定義:鎖複体
系列の準同型写像が、2回合成してゼロ写像になる時、鎖複体という。

ゆえに、上の系列で全ての準同型写像が∂であれば、鎖複体になる。

系2:
n次元単体の、i次元の面単体全てにより生成される自由アーベル群をGiと書く。このとき、

0→Gn→Gn-1→…→G1→0

({Gi,∂}と略記)は鎖複体である。

定義:輪体群、境界群
鎖複体である系列{Gi,∂}が与えられた時、各Giはその輪体群Zi、境界群Biと呼ばれる部分群を含み、
Zi=Im(∂i+1)
Bi=Ker(∂i)
である。各々が群であることには証明を要する。

定義:ホモロジー群
Zi/Biは、アーベル群の剰余類なので必ず群になる。これを、Giにおけるホモロジー群と呼び、Hiで表記する。

定義:完全系列
系列{Gi,∂}において全てのホモロジー群が{0}である時、完全系列と呼ぶ。

定理?:1個からなる完全系列
{0}→{E}→{0}
において、Eは必ず{0}である。

定理?:2個からなる完全系列
{0}→{E}→{F}→{0}
があれば、EからFへの写像は同型写像である。

定義:短完全系列
完全系列{Gi,∂}が

{0}→{E}→{F}→{G}→{0}

である時、これを短完全系列と呼ぶ。これ以上の長さの時、長完全系列と呼ぶ。

定理4:
系2の鎖系列0→Gn→Gn-1→…→G1→0は、完全系列でない。

証明:
G2→G1を見れば、Ker(∂1)=G1であるが、Im(∂2)はG2がただ一本の線分からなる場合、G1と一致しない。


以上により、自由アーベル群上の境界演算子∂が完全に定義された。


定義:単体写像
単体的複体Iと単体的複体Jの間の写像を、次のように定める。
まずIに属する全ての1次元単体(頂点)を、Jの1次元単体に写像する。さらに、Iが含む任意の単体に対して、写像を線形に拡張する。
このとき、この写像を単体写像という。

疲れたのでやめる。
 
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ホモロ爺さん
ホモロジーを勉強している。

最初は単体的複体間でユークリッド空間の部分集合を近似し、任意の連続写像を頂点間の写像で近似するという話だったはずなのだが、いつの間にかアーベル群の完全列という話になっていた。アーベル群は任意の剰余類が商群になるなどのことから面白みをあまり感じていなかったのだが、実際にやってみると完全列というのがかなり面白いことに気づいた。

今日は、「鎖準同型写像が誘導する、短完全系列から得られる長完全系列のホモロジー群の連結準同型写像」に関する定理がどうしても納得できなくて、ものすごい時間を食った。っていうか名前長ッ!ながすぎる。証明もかなり苦労して、今やっと終わった。それでいて、証明し終わると自明なことにしか見えないので、数学とは不思議なものだ。

簡単に言うと、もっと頭が良くなりたい。

追加 今気づいたけど、ホモロジーってひょっとしたら外微分から構造だけを抜き出すことで、微積分からの数学の開放を実現してるんじゃないかな?とちょっと思う。
 
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再起動
勉強はしてます。このごろ自分の世界観に大きな変更をもたらすような論文(チャイティン)に出会ってしまい、行こうと思っていた素粒子の分野が根本的に仮定を間違えているのではないか、と思い始めました。

物事を深く考えたいです。引越しも終わったし、そろそろ本腰を入れます。

トートロジーの追認みたいな勉強はやめて、反例と教科書の止揚による真の理解が自分には必要とされていると、そう感じる今日この頃です。
 
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