プロフィール

suurizemi

Author:suurizemi
はじめまして。私の名前は松崎遥です。
2010年現在、東京大学大学院総合文化研究科の2年生です。
最近いろいろ総合しすぎてよく解っていません。
e-mailアドレスは、blckcloistergmilどっと混むです。出会い系サイトの攻撃によりコメント機能は使えませんので、こちらにご連絡下さい。

私の好きな言葉だけ・・・
「証明の海の中にこそ数学の生命が宿り、定理や予想は大海に浮かぶただの泡である(よみ人知らず)」
「曖昧な知識は何の役にもたちません。自戒を込めて(神保道夫)」
「連続関数以外では、微分積分法はむずかしい!(高木貞治)」
「10代で共産主義にかぶれない人間は情熱が足りない。20を過ぎて共産主義にかぶれる人間は知能が足りない。(よみ人知らず)」
「だから、あの人自身がアトラクターなんだよね(金子邦彦教授評。)」
「われわれは、ほとんど知識をもっていないことほど固く信じている。(モンテーニュ)」
「現代文明の根源であり象徴である近代科学は,知的に非凡とは言えない人間を温かく迎えいれ,その人間の仕事が成功することを可能にしている.
 その原因は,新しい科学の,また,科学に支配され代表される文明の,最大の長所であり,同時に最大の危険であるもの,つまり機械化である.物理学や生物学においてやらなくてはならないことの大部分は,誰にでも,あるいはほとんどの人にできる機械的な頭脳労働である.科学の無数の研究目的のためには,これを小さな分野に分けて,その一つに閉じこもり,他の分野のことは知らないでいてよかろう.方法の確実さと正確さのお陰で,このような知恵の一時的,実際的な解体が許される.これらの方法の一つを,一つの機械のように使って仕事をすればよいのであって,実り多い結果を得るためには.その方法の意味や原理についての厳密な観念をもつ必要など少しもない.このように,大部分の科学者は,蜜蜂が巣に閉じこもるように,焼き串をまわす犬のように,自分の実験室の小部屋に閉じこもって,科学全体の発達を推進しているのである.・・・(中略)・・・大部分の科学者は,自分の生とまともにぶつかるのがこわくて,科学に専念してきたのである.かれらは明晰な頭脳ではない.だから,周知のように,具体的な状況にたいして愚かなのである.(オルテガ)」
「幾何学(=数学)について腹蔵なく申せば、私は、これを頭脳の最高の訓練とは思いますが、同時にそれが本当に無益なものだということをよく存じていますので、、、(パスカル)」
「犬っころなら三日も四日も寝ていられようが・・・寝て暮らすにゃあ、人間てのは血が熱過ぎる・・・(村田京介)」
「小泉純一郎は朝食をたくさん食べる。ヒトラーも朝食をたくさん食べた。だから小泉はヒトラーと同じだ(朝日新聞)」
「畜生、今日もまた Perl でスクリプトを書いてしまった。ああもう、 Python がデフォルトでインストールされないシステムはゴミだよ。いや、それではゴミに対して失礼だ (リサイクル可能なものが多いからな) 。よし、こうしよう。 Python がデフォルトでインストールされないシステムは核廃棄物だ。いや、核廃棄物の中にも再利用できるものはあるな。なんて事だ、俺は本当に無価値なものを発見してしまった・・・(プログラマー)」
「ヨーロッパかアメリカの気候のよいところで、
のんびりぜいたくに遊んで一生を暮らすこともできるだろうに・・・それがお前たち下等なブルジョワの最高の幸福だ。」
「もし二人がいつも同じ意見なら、一人はいなくてもよい。(チャーチル)」
「悉く書を信ずれば、即ち書無きに如かず。(孟子)」
「一般的に、時間が経てば経つほど、バグを直すのにかかるコスト(時間とお金)は増える。
例えば、コンパイル時にタイプか文法エラーが出たら、それを直すのはごく当たり前のことだ。
バグを抱えていて、プログラムを動かそうとした最初のときに見つけたとする。君はわけなく直せるだろう。なぜなら、君の頭の中でそのコードはまだ新鮮だからだ。
2、3日前に書いたコードの中にバグを見つけたとする。それを追い詰めるのには少し時間を要するだろう。しかし、書いたコードを読み直せばすべてを思い出し、手ごろな時間で直せるだろう。
でも、2,3ヶ月前に書いたコードの中のバグについては、君はそのコードについて多くを忘れているだろう。そして、直すのはこれまでよりずっと大変だ。このケースでは、君は誰か他の人のコードを直していて、書いた本人は休暇でアルバ島(訳註:ベネズエラ北西カリブの島・リゾート地)に行っているかもしれない。この場合、バグを直すことは科学"science"のようなものだ。ゆっくり、順序立てて慎重にやらなければならないし、直す方法を見つけるのにどのくらいかかるのか、確かなところがわからない。
そして、すでに出荷されたコードのバグを見つけたら、それを直すには途方も無いコストを招くだろう。(Joel on Software)」
「男と女には春夏秋冬がある。
春にしっかり育てて、
夏に燃え上がり、
秋に”情”という実がなり
冬はそれを食べて生きていく。(柳沢きみお)」

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自主セミナー やって候
もはや自主セミナーの補助ページではなくなって久しいモノ。
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よしやる造
さて、やっと幾何学が激しさを潜めて時間が出来たので、かねてから勉強したかった複素解析に取り組むことが出来る、と今日の明け方、昨日作ったカレーウドンをチュルチュル吸いながら思いついた私。

というのも、やっぱり朝日新聞の佐藤幹夫の記事が量子力学を専門にしようと思っているものにとっては強烈で、やっぱ佐藤超関数でしょ!みたいなノリになっちゃったのさあ。

しかし、自分は解析系がまるでダメおなので、名著と誉れ高い解析概論(3年間積読)から手をつけることにした。

今やっと、1章が終わったところだ。解析関数は5章だから・・・目的までに時間がかかることに、やっと気づき始めた。

今日どこまでいけるかなぁ。始めたころは一日に100ページ読めるんじゃないかと楽観的に考えていたけれど、あと65ページはちょっとつらいような気がするなあ。
 
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年末基本群
トポロジー入門は95ページ。基本群に入ってからだいぶ扱いづらくて困っている。

あと、昨日先日アップしたリー微分の定理が間違っていることに気づいた。ドラームコホモロジー類を変えないのは確かにそうだが、全ての閉形式を完全形式に写すのだった。

今日は徹夜で勉強だ。
 
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マイヤー・ビートリス完全系列
もう凄いとしかいいようがない。だれがこんなことを考えたのだろう。

僕はすっかり幾何学に向いているようです。これからの進路をだいぶ考え直しました。


現在読んだ幾何学(と圏)の本:

微分形式の幾何学:160ページ/321
トポロジー入門:79ページ/151
コホモロジーのこころ:59ページ/206

今家にあるけど読んでいない幾何学の本:

微分・位相幾何(2年生の時挫折した簡単めの入門書):181ページ/231
微分形式とその応用:2年生の時一通りよんだけどもう一回読みたい。動標構について詳しい。 100ページ/163
数学レクチャーノート・リーマン幾何学:2年生の時リファレンスにしてた参考書。そのうちもう一回読みたい。
力学的な微分幾何:ほぼ0ページ
微分形式と接続:2年生の時ベクトルバンドルの直前までよんだが・・・どうしたものか 
シュッツ物理学における幾何学的方法:ある意味原点の本だが半分しか読んでなかった。応用に入って無いじゃん!デルタ関数の捉え方とかが面白かった気がする 108ページ/268
曲線と曲面の微分幾何:一章読んであまり面白くなかったのでやめてしまったが・・・どうなんだろう。 40ページ/204

全部で10冊か・・・ひぇー
速く森田先生&田中先生&村上先生の本を読み終わって下の本たちをもう一回読み直してみたい。新しい発見が絶対にありそうだ!!!
 
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自分の歩むべき道が見つかった瞬間(久々に物理)
今日彼女と別れてから家に帰りお風呂に入って、そのまま大学ノート10ページ分も計算をしてしまったらこんな時間になってしまった・・・うーん、僕は変態かもしれん。

時間管理がへたくそです。この癖を直さないと、社会生活を営んでいけない気がします。やばいです。


本題なのですが、先ほど、こんな定理を発見?してしまいました。
「閉微分形式をリー微分しても、そのドラームコホモロジー類は変わらない。」

リー微分はなめらかなベクトル場の方向に沿った微分ですから、極めて物理的な概念だと思えます。とくに、時間に依存しないハミルトニアンベクトル場によるリー微分は、時間微分と同等です。つまり、この定理は解析力学においては、閉微分形式の時間微分が、もとの閉形式と同じドラームコホモロジー類に入ることを表しています。

これは、物理的に何か意味のある保存則なのでしょうか。というか、保存則なのでしょうか。そもそも、物理量で完全で無い閉形式などどんなものがあるのでしょうか。

と興奮して書いていますが、証明は簡単だったので、きっともう既に広く知られている定理なのでしょう。それか、僕が論理的にミスを犯しているのかもしれません。しかし、この定理のステートメントは美しいので間違いに関しては多分無いと見て大丈夫でしょう。この意味については、また明日考えることにします。

もちろん、どなたか教えていただけると幸いです。
 
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明日で1段落
微分形式の幾何学は142ページで止まり続けたまま、トポロジー入門(ホモロジー)は64ページ目でマイヤー・ビートリスシーケンスと戦っている。やっと、数学科の講義の12月に入ったところまで追いつけたというところだろうか。

ようやく幾何学に疲れてきた。病気もしたしな・・・

マイヤービートリス・重心細分・位相不変性といったら一休みしようと思う。幸い水曜日には世界で何よりも大事な予定が入っている。

明日、火曜日を存分に使いきって彼女に会いに行きたい。
 
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今年のクリスマスっぷり
なんといっても病気のことで家族にはお世話になった。俺ももう一人前の大人だとは言っても、いくつになっても親の愛情というものは何物にも代え難いものだと思う。

しかし、今年のクリスマスは数学しかやることがなかった。虚しいような充実しているような・・・不思議な気分だ。

予定では颯爽と調和形式に進んでいるはずだったのだが、一応3章に目を通し終えたものの、主題のドラームの定理自体には全く疑問を持たずに受け入れられたのに、やはり単体的ホモロジー論の胡散臭さに立ち止まってしまっている。

畢竟、図形をアーベル群に埋め込むというのは関手である(図形と境界という関係を保つ。)から、oriented単体の3倍やらマイナス4倍やらの不可解な「図形」は図形に属さないチェインだと考えることは可能であって、無視して差し支えないのかもしれない。しかし、それでも疑問は残る。それではアーベル群上の境界演算子とは、図形にあらざるものについても働く、実に奇妙な演算子である。

また、アーベル群として図形を見れば、そこでは図形の連結性は、境界演算子のカーネルであるということの中に取り込まれてしまうが、それは逆に、非連結な多様体の非連結性は直感を離れ、抽象的な定義の中に埋没してしまうということでもある。

もちろん、アーベル群の基底として連結したサイクルだけをとることは可能であるが、先ほど挙げた、「図形」の範疇に収まらないチェインをも生成元にとりうるということは、この理論の問題ではあるはずだ。

・・・

何について悩んでいるのかが分かりづらくなってきてしまった。ここに宿題として掲げておこう。

「連結なn次元微分閉多様体が自明で無いn次元サイクルを持つことは、向き付け可能と同値な条件(たぶん)なのだが、これを証明せよ」
 
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ノロウイルス
ノロウイルス。やばいです。昨日から常に吐き続け、一睡も出来ませんでした。

これでクリスマスの予定もつぶれてしまいました。うがい手洗い気を付けていたのに・・・はぁ。ひどい
 
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fuu
飲み会が久しぶりにあった。超久しぶりにカラオケ行った。

微分形式の幾何学がやっと124ページ。2章の問題は残すところ2問。もう全てが特異kチェインにしか見えないっす。

つかれた==
 
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早起きは3文の得
昨日11時半に寝て、今日3時半に起きた。8時まで勉強とネットサーフィンをしました。ふぅ

微分形式の幾何学はやればやるほど物理がわかっていく気がします(笑)微分イデアル・・・なんなんだこれわ。ようやく95ページ。演習問題にまた数日かかるのかな・・・

ワイルとルベーグ積分をどうにかしなきゃあかんから今週中には終わらんかも知らんね。


しかし授業のドラームコホモロジーって、これくらいまでは多様体上の微分形式を理解して無いと意味が無い気がする。
つまり、難しい授業をとりすぎて今学期は先走ったってことだね。
 
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微分形式の幾何学
一章が基本群の4ページ以外はよみ終わって、今演習問題を解いていた。

たいていごり押しで計算して美しい結果が出て感動する。しかしさらに驚きなのは、筆者の森田先生の回答を見ると、全くといっていいほど計算しない抽象的でエレガントな回答になっているということなのだ。

僕は一体何を読んできたんだろう。何も読み取れていなかった。と思って愕然とするとともに、そのあまりの美しさに恍惚としてしまう。
 
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集合と位相を甘く見ていた!
松坂本は残すところ、6章の距離空間だけとなった。こうして距離空間を見ていると、分離公理がないとどこまでいけるかということが考えられて面白い。

実はこれを早く読み終わりたい。というのも、図書館で偶然30年以上前の岩波講座基礎数学と出会ってしまい、その記述に感銘を受けたから、それを読みたいのである。

そのとき、森田本の「多様体はパラコンパクトであるばかりでなく1の分割が存在する」という定理の証明について、多様体がLindorf空間であることを証明しなければいけなかったのだが、僕がこのLindorf空間という言葉を見つけたのが上の本なのだ。

この日、僕は第二加算公理がいかに重要なものであるかを知った気がする。

この基礎数学にはチコノフ版など、具体例が豊富すぎて、僕は圧倒された。その上、終章は圏論であり、序章はイデアルを含んでいる。これは読むしかないと、運命を感じた。

分離公理に対する扱いがはなはだしく厳密であるのと、判例が殆ど挙げられていることがすばらしい。これが、松尾先生が松坂本をきれいごとしか書いていないのが問題と書かれているゆえんなのだろうか。

力学系の勉強でも同相写像がふんだんに現れているので、位相と集合をちゃんとやらなければならないだろう。
 
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焦り
微分形式の幾何学を25ページまで読んだ。あんま感心出来ないペースだが、積位相や商位相、逆関数の定理などをいちいち証明しなおしてしまったため時間がかかってしまった。

いま気分転換に数学科の修士の過去問を見ていたんだけど・・・うーん、たぶん指定問題数解けるか解けないかギリギリだな・・・今のレベルじゃ。専門は、共通して言えるのは・・・

数学科の問題って全部複素数体上なのが前提になってる。

ちょっと~そんな英才教育受けて無いッす!(汗)先は長いようだ・・・焦る。

とりあえず改めてみてみると、解けそうなのは・・・・

表現論と、微分形式と、多様体の問題ぐらいか・・・

ホモロジーもルベーグ積分も難しいぞ・・・ルベーグ積分は、多分畳み込みだから出来るかもしれんが・・・

勉強しなさ過ぎでした。お父さんお母さんごめんなさい・・・

ああ。


まあ裏を返せば、少ない科目を重点的に勉強しろってことだよね、これは。僕が将来やりたいのは量子力学と超関数、ヒルベルト空間や正則関数空間のコホモロジーなどの絡んだところと、相空間っつーかリーマン幾何、群上のリーマン幾何を含む(つまり素粒子)だから

そこら辺を重点的にやれ、ってことですね!!!(死)


まぁ、実際問題解くとしたら、微分形式、ホモロジー(必ず出てる気がする)、表現論ですかね。ということは関数空間は後回しにしたほうがいいのだろうか・・・?
 
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明倫環
明倫環(知らない人へ・古本屋ね。)に久しぶりに行った。LangのAlgebraが欲しかったからだ。だけどあったのは汚かったので買わなかった。おれなんのためにいったんだ?(実際は立ち読みしてビビッタからという話もある。)

でも結局12700円買わされた。こうしてまた明倫環のカモが養成されていくのである・・・

量子力学の数学的構造I
久しぶりに読もうかと思って。美品だったので即買いコフー

微分形式の幾何学
ビバ森田!授業受けたこと無いけど!
高校時代に読んで挫折した本ですが今読むと簡単簡単・・・
やっぱり物理やるにも最低限全単射と同相写像と微分同相の区別は即答できなくてはいけないよね。

多体シュレディンガー方程式
なんと2500円。立ち読みしてみると、非常に興味深い感じだったので買った。超局所解析が理解出来るかどうかは未知数。
でも俺の冬休み中の勉強時間もまだ未知数だ!とカッコイイ事を言ってみる。

佐藤超関数入門
せっかくホモロジーを猛勉強しているので、佐藤超関数もやりたくなったのである。本を買うのは自由である。

ほかにモース理論・深谷ゲージ・山口複素など欲しい本がたくさんあったが、読破してからまた買いに来ます。

全部読む気です。睡眠時間の足りなすぎで死ぬのは本望ですが寝ないと頭働かないので朝になって寝る→遅刻 とならないように気をつけます。

今日は電車で買ったばかりの森田先生の本を読んだ。15ページまで読みましたがぶっちゃけ退屈かもしれない。これは成長と受け取っていいのだろうか?
 
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単体論のやり直し
日曜日はサクライゼミの仲間で久しぶりに集まって、楽しく飲んだ。次の日、二日酔いで大変だった・・・

さて、5分ぐらい前にようやく、多面体を重心細分しても全体としては変わらないことが証明できた。数学は答えを見ない。これは、高校のころどの先生かが言っていた事だが、こうして独力で全ての問題を解くのは楽しい。しかも、自力で解いた問題は忘れないし、行間に含まれた意味も発見できることがある。

欠点は、時間が足りなくなってしまう&夜更かししすぎてしまうことです・・・

もっと集中力がなければいけない。こんな簡単な問題、5分も集中すれば解けたはずだ。

自分を戒めなくてはならない。

ところで、こういうときにこれまでにアップした文の日記を読み返すとどの問題を放置しているのか分かるので、ありがたいなあ、と思った。

またアップしよう。
 
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コホモロジーのこころ
この本の1章が終わってしまった。この本で使うカテゴリーの道具は大体紹介されてしまったらしい。

といっても、層とアーベリアンカテゴリー、表現可能関手と米田の補題ぐらいしかなかったような気がしてしまうのは気のせいだろうか。一応これまで読んだところをまとめてみよう。

いやに読むのに時間がかかったが、今回は全部自分で再現できるようにということを留意してやっていた。基礎的な分野ほど空気のように扱えなければいけないわけで・・・

1章まとめ

1.1

対象・射・Hom集合・恒等射。
アーベル群・アーベル群のカテゴリー・可換環・可換環のカテゴリー
位相空間のカテゴリー・包含写像・制限写像・写像⊂射
関手・共変関手・反変関手・Setsへの表現可能関手・双対カテゴリー
前層・自然変換・自然変換を地に下ろす・可換図形
などの定義。

1.2

部分カテゴリー・充満な部分カテゴリー
忠実な関手(射に対して)・充満な関手(単射・全射と対応)・埋め込み
表現可能関手・米田の補題・X有理点
Cの射がSets^Cの射に集合として同型なこと(集合間の全単射の存在)
アーベリアン・カテゴリー
Ker・Coker・Im・Coim・(完全圏)・普遍写像性・Lubkinの完全埋め込み定理
加法的関手・右随伴関手・左随伴関手

最後の随伴関手が危ない以外は曇りなく理解できている感じがする。

1.3

帰納的極限・射影的極限
表現可能性による議論

まだ表現可能性があやふや。

1.4

前層・帰納的極限としての茎・芽・層・層FのU上の切断
アーベル群への埋め込み
前層の自然変換のKer・Kerが層になるための条件・CokerとImの層にならないこと・前層の層化・層化の左随伴関手と普遍写像性

層化の左随伴関手と普遍写像性以外は分かってると思う。


次はどうしよう。抽象的なものはお腹一杯という感じなので、複素解析か単体ホモロジーに戻ろうかと思う。
 
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層のコホモロジー
また今日もこんな時間まで勉強してしまった。明日はバイトだから寝るけど、バイトしてなかったら寝ないでこのまま勉強してそうだ・・・・。

明らかに危ないので早く寝よう。

冬は、複素関数論と層のかかわりについてやりたい。
 
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微分形式とコホモロジーと物理
物理って、自然にコホモロジー概念を適用してるのな。今日は私的なことを除けば(ネットに私的なことを書いたことなど殆ど無いが)微分形式に戻ってコホモロジーを考えていた。関手の概念がだいぶ分かってきた。気がする。

集合論的な観念に立脚した写像と言う概念を嫌った、準同型写像という概念なのね。構造主義的な考え方とは全然違って、構造がいかに流動しても通じるパワーという感じだ。だとすれば、これはまさに関数空間などより物理に必要な考え方なんじゃあないか?と思えてきた。

数学者物理学者から分けようとする人間はやたらいる。そういう人は寺沢寛一とかを読んだことが無いのだろうか。解析力学をやっていて、軌道がペアノ曲線に(無理数比リサージュでもいい)なったらどうなのだろうかとかは、量子化条件や統計力学と非常になんか近い気がして気になる疑問だと思う。また、微分方程式の解の存在という問題を気にせずに、現象を表す方程式に向かって猪突猛進する物理学者など本当にいるのだろうか?要するにいまの僕の考えでは、「そんなに高度な数学は必要ない」という考え方は単なる勘違いだ。第一に高度な数学なるものが存在するという勘違い。そして、数学という学問が手段では無いと思っているという勘違いだ。

こう考えてから、物事を腰を据えて考えるようになった気がする。成果はなかなか上がらなくても、これが精神的に一番安定する。そうやって考え続けている問題が、微分形式のチェイン・ホモトピーの問題である。

とりあえず、埋め込みと射影の合成が、関手によってコホモロジー群上の単位行列のようなものになっているのは分かってきた。単位行列といっているのは、大きさの違いをアピールするためである。

そもそも、今まで引き戻しだと思ったものが、射(多様体間の写像)を関手で写したものだということに驚きである。とすれば、それは様々な多様体で微分形式を考えることを可能にしてくれるであろう。そもそも接空間や余接空間などって最初から胡散臭い存在なんだから、関手で一歩離れたところに置くのが本当なのだ。つまり、似ているからバンドルというものを考えるのではなく、異なるカテゴリーに多様体という空間構造が伝播すると考えるわけだ。もしかしたら多様体の空間構造も、宇宙の本体からデンパしたかもしれない。

解析力学を速度と運動量に応じて接バンドル・余接バンドルと取り替えて考えるのが殆どqとpを間違えないための便宜にしか見えない(そりゃあ特異ラグランジアンの時に表立って役立つというのはあるが・・・)のも、理由が分かった気がする。

それは置いといて・・・チェインホモトピーだけど、計算がなかなかややこしい。数学的帰納法という受験テクニックに惑わされて、p階微分形式を同時に計算するというスキルが足りていない模様。まず、関数の引数が非常に分かりづらい。でも、一気に書いてると計算ふのう。でも、こういうときは一気に書いて、計算不能になったほうがよい。そこから腰を落ち着けて、簡単にする方法を考えるのだ。
 
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量子力学とホモロジー
やばい。今日は遅くまで友達と学校に残って勉強していたのだが、ワイルの「量子力学と群論」に出てくるエミーネーター・ジョルダン・ヘルダーの定理というものが、明らかに単体的複体のホモロジーであることに気づいた。

そこで、整数係数で正則な行列の理論などを考えていたら、逆行列が存在するならば行列式が±1で、固有値もまた±1であることが証明できてしまった。簡単に言うと、整数係数ベクトル空間上の線型変換の行列について、V→V→0(一個目の準同型がその線型変換である)なる鎖系列を作ると、そのホモロジー群が0であることが固有値全てが±1になることと同値なのである。

興味のある方は証明を試みられたい。
 
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