プロフィール

suurizemi

Author:suurizemi
はじめまして。私の名前は松崎遥です。
2010年現在、東京大学大学院総合文化研究科の2年生です。
最近いろいろ総合しすぎてよく解っていません。
e-mailアドレスは、blckcloistergmilどっと混むです。出会い系サイトの攻撃によりコメント機能は使えませんので、こちらにご連絡下さい。

私の好きな言葉だけ・・・
「証明の海の中にこそ数学の生命が宿り、定理や予想は大海に浮かぶただの泡である(よみ人知らず)」
「曖昧な知識は何の役にもたちません。自戒を込めて(神保道夫)」
「連続関数以外では、微分積分法はむずかしい!(高木貞治)」
「10代で共産主義にかぶれない人間は情熱が足りない。20を過ぎて共産主義にかぶれる人間は知能が足りない。(よみ人知らず)」
「だから、あの人自身がアトラクターなんだよね(金子邦彦教授評。)」
「われわれは、ほとんど知識をもっていないことほど固く信じている。(モンテーニュ)」
「現代文明の根源であり象徴である近代科学は,知的に非凡とは言えない人間を温かく迎えいれ,その人間の仕事が成功することを可能にしている.
 その原因は,新しい科学の,また,科学に支配され代表される文明の,最大の長所であり,同時に最大の危険であるもの,つまり機械化である.物理学や生物学においてやらなくてはならないことの大部分は,誰にでも,あるいはほとんどの人にできる機械的な頭脳労働である.科学の無数の研究目的のためには,これを小さな分野に分けて,その一つに閉じこもり,他の分野のことは知らないでいてよかろう.方法の確実さと正確さのお陰で,このような知恵の一時的,実際的な解体が許される.これらの方法の一つを,一つの機械のように使って仕事をすればよいのであって,実り多い結果を得るためには.その方法の意味や原理についての厳密な観念をもつ必要など少しもない.このように,大部分の科学者は,蜜蜂が巣に閉じこもるように,焼き串をまわす犬のように,自分の実験室の小部屋に閉じこもって,科学全体の発達を推進しているのである.・・・(中略)・・・大部分の科学者は,自分の生とまともにぶつかるのがこわくて,科学に専念してきたのである.かれらは明晰な頭脳ではない.だから,周知のように,具体的な状況にたいして愚かなのである.(オルテガ)」
「幾何学(=数学)について腹蔵なく申せば、私は、これを頭脳の最高の訓練とは思いますが、同時にそれが本当に無益なものだということをよく存じていますので、、、(パスカル)」
「犬っころなら三日も四日も寝ていられようが・・・寝て暮らすにゃあ、人間てのは血が熱過ぎる・・・(村田京介)」
「小泉純一郎は朝食をたくさん食べる。ヒトラーも朝食をたくさん食べた。だから小泉はヒトラーと同じだ(朝日新聞)」
「畜生、今日もまた Perl でスクリプトを書いてしまった。ああもう、 Python がデフォルトでインストールされないシステムはゴミだよ。いや、それではゴミに対して失礼だ (リサイクル可能なものが多いからな) 。よし、こうしよう。 Python がデフォルトでインストールされないシステムは核廃棄物だ。いや、核廃棄物の中にも再利用できるものはあるな。なんて事だ、俺は本当に無価値なものを発見してしまった・・・(プログラマー)」
「ヨーロッパかアメリカの気候のよいところで、
のんびりぜいたくに遊んで一生を暮らすこともできるだろうに・・・それがお前たち下等なブルジョワの最高の幸福だ。」
「もし二人がいつも同じ意見なら、一人はいなくてもよい。(チャーチル)」
「悉く書を信ずれば、即ち書無きに如かず。(孟子)」
「一般的に、時間が経てば経つほど、バグを直すのにかかるコスト(時間とお金)は増える。
例えば、コンパイル時にタイプか文法エラーが出たら、それを直すのはごく当たり前のことだ。
バグを抱えていて、プログラムを動かそうとした最初のときに見つけたとする。君はわけなく直せるだろう。なぜなら、君の頭の中でそのコードはまだ新鮮だからだ。
2、3日前に書いたコードの中にバグを見つけたとする。それを追い詰めるのには少し時間を要するだろう。しかし、書いたコードを読み直せばすべてを思い出し、手ごろな時間で直せるだろう。
でも、2,3ヶ月前に書いたコードの中のバグについては、君はそのコードについて多くを忘れているだろう。そして、直すのはこれまでよりずっと大変だ。このケースでは、君は誰か他の人のコードを直していて、書いた本人は休暇でアルバ島(訳註:ベネズエラ北西カリブの島・リゾート地)に行っているかもしれない。この場合、バグを直すことは科学"science"のようなものだ。ゆっくり、順序立てて慎重にやらなければならないし、直す方法を見つけるのにどのくらいかかるのか、確かなところがわからない。
そして、すでに出荷されたコードのバグを見つけたら、それを直すには途方も無いコストを招くだろう。(Joel on Software)」
「男と女には春夏秋冬がある。
春にしっかり育てて、
夏に燃え上がり、
秋に”情”という実がなり
冬はそれを食べて生きていく。(柳沢きみお)」

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もはや自主セミナーの補助ページではなくなって久しいモノ。
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ブレイク詩集
勉強ばかりしていると独創性が消えてくるのを感じている今日この頃なので、このブログにも1%ぐらいは数学とも物理とも関係ない要素を入れて見ます。



最近買った一番新しい本です。

やはりブレイクを語る上で、「無垢と経験」というのは避けえないテーマでしょう。人生とは経験という悲劇の側面を持っている。ということで、ボルツマン方程式=不可逆過程=無垢と経験の歌。ブレイクですw

この本、値段が手頃な割りに、挿絵が多いです。地獄の格言の最後に載っているニュートン、素晴らしいの一言です。

問題は内容です。自然の壮大さにかくも跪き、天性によって何か大いなるもの、星に満たされた天蓋にも似たそれらの奔流を時空を超えてほとばしらせる・・・この詩人の一生は、学者の一生にも似ているのではないでしょうか。すくなくとも、目指すものとしては(といわないと、ブレイクに失礼でしょうか)。
 
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熱力学的極限
うーん、難しい議論だ。昨日の本のレビューのようなもの。今70ページあたりをうろうろしています。かなり深刻な誤植もいくつか見つけました(まぁ初版だし)。あとでメールしなきゃ。

さておそらく熱力学的というのは流体力学的極限なんかと同じ程度の意味なんだろう。それはいいとして、

極限をとるのは、不必要な情報を切り落とすためである。それでは、何を切り落としてるんだ?

うーん。

熱力学的極限でのエントロピー密度の収束に対する議論は、この本でも白眉だ。粒子数の変化による、相空間自体の変容をうまく避けて、うまくエントロピー密度を

ρ-ρlogρ

の形に持って行っている。特に、上でも述べたが、エントロピーの粒子数に対する依存性をうまーく極限で切り落としているのが明解だ。

エントロピーから粒子数依存性が消えて、密度の関数s(ρ,ε)になれば、流体力学などで非常に扱いやすいのはよくわかる。これが熱力学的極限の正体なのだろうか。


大体は見えてきた。では、ミクロカノニカル分布で考えてみよう。

ミクロカノニカル分配関数(こう呼んだ時佐々先生に叱られたが)すなわちエントロピーは、体積、粒子数、エネルギーの関数として

Ω(V,n,E)

とかかれるのが通例である。Vはもちろん体積であるが、佐々・ランダウ流に表現すれば断熱変化するポテンシャルを表す。

そうか。現実の系では、体積と粒子数の間に密度という束縛条件が加わるんだ。流体力学なら、この束縛がポテンシャルVを不要なものにする。

実際、nがとても大きいと、一粒子増えたことによるエントロピーへの影響は、ほとんど無いだろう。しかも、エントロピーはnについて指数関数的に大きな数になりすぎて、コンピューターですら扱えないと予想される。

そのための熱力学的極限か。

うーん。
 
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数学で読み解く統計力学―平衡状態とエルゴード仮説
やばいです。ミクロカノニカルアンサンブルによるエントロピーの定義に納得できない人、エルゴード仮説の証明について頭を悩ませたことがある人、熱力学的極限が納得できない人。H定理を聞いたことはあってもよく理解して無いという人。そんな人たちにとっての福音書になるのではないかと思います。後日読み終えましたら、またレビューを書こうと思います。

表紙がかっこいいです。


 
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ボルツマン方程式とKdV方程式
ボルツマン方程式とKdV方程式には、共通点がある。それは、どちらもヒエラルキー(階層)をもつということだ。

階層とは何か。この2本の方程式は両方非線形であり、解きづらい。

そこで、無限個変数を追加して、それらをゼロと置いたものと見なすのである。すると、新しく導入した変数たちについて線型微分方程式が得られる。

この無限個の方程式が階層であると、理解している。

関数解析的には、この違いは大きな違いであるので、階層は重要だと思う。



今学期は、専門性を深めるため、2つのテーマしかやっていない。すなわち、ボルツマン方程式のような、確率論的なアプローチで統計力学を扱うこと。もう一つは、これも統計力学を志向しているのだが、可積分系である。
一見全く異なるふたつの分野の勉強が、こうして運命の出会いを果たしてしまった。
 
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リースの表現定理
ついにリースの表現定理を確率論で使うところまで来てしまった・・・

今確率をスムーズにやっていられるのも一年前に勉強した関数解析のおかげだと思うと、しみじみ感動する。

そこで、N島さんとのある意味「思い出」であるLieb(エリオット・リープ)の関数解析を図書館で借りてみた。

うむ、今なら十分読めそうだ。

ちなみに、授業で指定されているDunfordの関数解析を借りてきた。全部あわせて2000ページぐらいある本だ。一巻は850ページなのだが、そのうち100ページがリファレンス(参考文献)。ギャグかと思った。

ところがである。一巻に、なんとソボレフ空間が載っていない。リースの表現定理が真価を発揮するのは、ソボレフ空間がヒルベルト空間になる、W^1,2だと思うのだが。。。

ということで、Liebを読もうと思う。もう少しでファン・カンペンも2章が終わる。

確率論における線型汎関数もまた楽しからずや、である。汎関数微分も、1年前の春休みに始めてみたとき以来、ちょっと慣れてきた。

しかし、アブストラクト・ナンセンスに陥ってはならない。汎関数は、計算を簡単にするための手段に過ぎない。フォック空間とかとは少し違うはずなのだ。道具として使いこなせることである。
 
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Weiss George先生との会話1
さて、火曜日の午後は関数解析だ。担当の先生はWeiss George先生で、なぜか僕にちょくちょくと話しかけてきてくれる。

今日は、ソボレフ空間とリースの表現定理、その偏微分方程式論への応用だった。うーん、偏微分方程式の弱解が一意的に決まるのは、非退化な内積のおかげだという話だ。

ソボレフ空間なんかを見ると、関数解析の重みは微分に置かれているような気になる。もちろんここで微分といっているのは、関数から関数への線型作用素で、ポアソンかっこのようなものだ。

そこで、先生が今日も「まだ簡単でしょう」とにこやかに話しかけてきてくださったので、「確率過程などでは、微分多項式でもなく、掛け算演算子でもない線型作用素は出てきますか」という質問をさせてもらった。なぜかというと、一年前に読んだ「量子力学の数学的基礎(新井朝雄)」では、それ以外の線型演算子は出てこなかったと思うからだ。(でてきていたら、コメントにてご指摘をお願いいたします)

答えは・・・たくさんある、らしい。

いろいろな例を挙げて説明してくださったが、半分ぐらいは全く知らない内容で、しかし、ブラウン運動が鍵だということが決定的に感動した。なぜかというと、今ダイソンの論文を読んでいて、ランダム行列のブラウン運動(フォッカープランク方程式)についてうんうん言っているところだったからだ。そのお話も面白いのですが・・・

勉強が足りない。

午前は、可積分系で、ソリトン解の位相のずれでした。頭が働かなくてasimptoticに関する説明がよくわかりませんでした。これもフォローしなきゃか・・・
 
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ファン・カンペン1回目
朝7時半までどうしても寝れず、苦しんでいた。夜中に論文を読みすぎたのと、カフェインの取りすぎが原因だ・・・起きた時には・・もうアウト。初めてのセミナーであろうことか遅刻してしまった。

まぁ内容は・・・あまり好きじゃない微分方程式の話だったのでいいか・・・

3時間目の複雑系物理学。ローレンツが、リターンマップの記号力学系的性質まで、最初の論文で到達していたと言う話。すごい。ローレンツのファンにちょっとなった。

4時間目。金子セミナー2。

ファン・カンペンは結局17ページまでしか読めなかったのでわからないところを先生に聞く。キュミュラントのlogの解釈がやっとわかった。

それは昨日にさかのぼる。

昨日は、ウィロックス先生の、広田作用素についての授業だった。そこで、KdV方程式を綺麗な形に(1-soliton解が指数関数になるように)変数変換すると広田作用素が現れるのだが、その変数変換がu=-2∂∂logzなのだ。つまり、logをとった後微分すると言う変換である。

キュミュラントも実際これと同じだ。logをとること自体にあまり意味は無く(それは、負のところでは解析接続をしているのに上から接続するか下から接続するかに全く言及していないことからなんとなくわかる)、単に、特性関数に1を代入した値で割れといっているだけなのだ。

という、聞いているがわには何のことやらわからない自己満足で今日の日記を終える。そういえば、今日の5時間目は英語の授業。ためになった。

そういえば、今の今まで忘れていたけど6時から8時半まで講演会を聞いてきた。なぜか、非常につまらなかった。あまりにつまらなく感じられたので、自分に科学の素質が無いのではないかと本気で悩んでしまったぐらいだった。
 
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佐々先生の真似では無いが・・・
水曜日は授業をとらず、家に引き篭もって研究することに。今日は、金子先生とのセミナー(ぽいもの)に使うVan KampenのStochastic processes in Physics and Chemistryを読み始めた。

ファン・カンペンというと、数学をやっている人は真っ先にホモロジーの定理が思い浮かぶと思うのだが、なんと別人である。どうやら、オランダではよくある名前のようです。

このファンカンペン・・・異常に時間がかかる。今日はいまのところ、9ページまでいった。というか、9ページまでしかいかなかった、と言うべきでしょうか。しかし、その9ページの説明の合間に問題があるのですが、なんと計31問!
良問が多いです。例えば、次の問題。

問い:cos(ak)の逆フーリエ変換を求めよ。それが、確率論的にどのような測度を表すかも考えよ。

問い:コーシー分布(1/{1+(x-a)^2}を規格化したもの)のフーリエ変換をし、その結果から二次以上のモーメントが存在しないことを導け。

問い:ある概念について、2つの言語が全く同じ発音の単語を持ったとする。このとき、この2つの言語は果たして関係しているといえるだろうか。言語の変遷を、置換として考えてみよう。n個の要素の置換はn!個である。それではこのうち、どの要素も元の位置に留まらないような置換は何個であるか。
さらに、このような置換の占める割合が、nが無限大の時1/eに近づくことを証明せよ。(よって、ほとんど同じ発音の単語の割合がおよそ0.3以上無ければ、2つの言語が関係しているとは言いづらいことになる。これにより特に有名な、「英語は韓国語起源」問題が解決される(誰も知らないか・笑))

さて、答えはどうなるかわかりますか?

シナイの11章なども参照しながら読んでいたのだが、どうやら前回の日記で私が提出した疑問は、確率論にとって本質的だということがわかりました。最近、ふと感じた疑問がヒットする確率が高まってきて、そういうとき妙にうれしくなります(^ ^)

また、卒論のテーマが今日降ってきました。これっきゃない!って感じでスパークしてます。しかも、小規模な実験で確かめることが出来そうなテーマです。散歩効果かな、最近直感が研ぎ澄まされてきました。
 
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新学期・・・・始まったな!
2時間目、後輩のゼミにお邪魔して、そのまま3時間目をサボって2時間ぐらいお話をした。みんないい子達で、生きていく活力をもらった(笑)。

新学期・・・・始まったな!

4時間目は確率過程。主に、確率変数の独立性であったが、この概念は非常に難しいと思う。独立性というのは、次のような階層構造を持っている。

直感的な独立性⊂事象の独立性≠確率変数の独立性。

そもそも確率変数の値域上に確率を定義できるには、値域上のボレル集合族を考える必要があるわけで。これが実数だったら実数のボレル集合族を取ればいいんだが、それ以外は正直よくわからないといっていいでしょう。

実数上のボレル集合の、可測関数による逆像はボレル集合になると言う定理はあるけれど、確率で自明に見えるのは、確率変数の値域が高々可算濃度だから完全加法性を使ってボレル集合だと言えるわけで。連続濃度のボレル集合の逆像が標本空間においてもボレル集合であると言うことは、そんなに自明で無いわけです。

例えば、量子力学では、無限次元ベクトル空間上の線型演算子としてハミルトニアンという概念を考えますが、これを、長さ1のエネルギー固有ケットの上だけに制限することを考えよう。すると、まず、有限次元部分空間上のハミルトニアンは、有限個の実数の組となる。では、これを完備化すると必ず可算無限の自由度になるか?というと一般にはならないだろう。つまり、制限されたハミルトニアンは自然数上の実数値関数でなく、完備化のせいで、連続濃度の集合上の実数値関数の様相を呈してくることになる。これは自明であろう。

さて、そうすると、値域上のボレル集合のハミルトニアンによる逆像はどうなるか?連続スペクトルを持つ場合、これは自明ではない。さらに、ハミルトニアンの期待値が発散しなければ、これを用いて規格化し、確率変数として理解することが出来るであろう。

それでは、このスペクトル上に確率分布を与えられるだろうか?

それは、上のように制限したハミルトニアンが可測関数であるかと言うことと同じ問題である。私はまだこの問題をどうやって解決するか思いついていないのです。

もしも常に可測関数ならば、(とくに連続な)スペクトル上にも確率を誘導すると言うことが行える。スペクトル上のボレル集合Bに対してその逆像を考え、それはヒルベルト空間の部分空間となるが、ヒルベルト空間上の確率測度を適用すればよい。ここは単に確率過程として与えてもよいし、重ねあわせ状態をさらに導入してもよいだろう。

まとめると、以上のように与えられた確率変数の独立性は直感を離れた浮遊物で、私にはどうも理解しにくいように思えるのである。特に、上で書いたような場合においてである。だから、計算が楽な時がすなわち独立な時であると今は思っている。これはかなり不完全な理解じゃないかと心配なんですが・・・

余談だが、離散固有値を持つ有限の大きさのランダム行列から連続スペクトルが生まれる様子は興味深い。どのように完備化を行えばいいだろうか?もしくは、連続スペクトルは生まれないのだろうか?


・・・・・・・・・・。


さてさて。4時間目のあと、予定通り金子先生に謁見し、お話を伺い、毎週こつこつとStochastic Processes in Physics and Chemistryをやることになった。明日は関数解析だし、全ての科目が関係している。今学期は大変だ・・・。家でやることが果てしなく多そうだ。
 
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コルモゴロフコンプレキシティーと複雑系
コルモゴロフコンプレキシティーを、今学期の師匠である金子先生のところに持っていったら、「測れないもので応用を語るのはどうか」と言う旨の話をチラッとされた。

確かにそうであり、なぜ生物ではダメで、物理でなければいけないのか。このことを考えるためにいま1時間半の散歩を終え、私は帰ってきた。

変な話だが、散歩をするという行為は、自分を散逸系に見立てると言うことである。つまり、家に引き篭もって考えると言うのは、人間の精神が独立した存在性を持っており、論理に必要なのは精神だけなのだと言う考え方を体現した実践法であると言える。その反面、私は意識とは生存が必要とする幻想であるというユーザーイリュージョンの考え方を少しは信じているので、散歩をすることになる。

散歩=散逸系という式の、右辺を説明すると、次のようになる。散逸系とは、エネルギー保存しない代わりに、外側からエネルギー供給を受けて安定になる系のことである。つまり、散歩をしながら知覚を全開にし、それを材料にして思考を活性化させることで、普段とは違う論理回路が開かれると言う私なりの理論なのだ。

つまり、ここで得られた結論と言うのは論理的ではないので、ここに書くこともできないと言うことになる。オカルトっぽいだろうか?でも人間の成長とはそんなものなんじゃないだろうか。

夕暮れの街は、開かれた場所では美しく見え、入り組んだ路地は原初の恐怖をひそめている。
 
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ついに開眼した!
ついに、映画のセリフが字幕無しでほぼ(映画と言う性質上、必ず聞き取れない部分が存在する)全て聞き取れるようになった!

ためしに、英語字幕を入れて観てみる。おぉ~、実際にいってることとは全然違う(笑)(実際にしゃべっているセリフを全て書くと画面に収まりきらないからだ、と言うことにようやく今日気づいた。よって、英語字幕を入れて映画を見るのは日本人的には全くのムダである。)

あとは、同じ速さで発音できることを目指すのみ。また、英語は発音が難しく・・・今日も、warnの発音をミスるという初歩的なミスをやってしまうのでありました。

さて、新しいビデオを借りに行こうかな。しかし見たい映画が無い(笑)ずっと引き篭もって数学ばかりの人生でしたからね・・・。
 
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意識の存在は、人間の存在に対して2義的なものでしかない
という思想が。ユーザーイリュージョンは全編を通してこの思想に貫かれているが、そういえばそもそもこの考え方自体が、高校のとき読んで感銘を受けた西田幾多郎に酷似していて驚いた。

ということはこの考え方はある程度普遍性を持つものなのだろうか。

もちろん私はそれこそが真実だと信じきっているのだけれど、もしそうだとすれば勇気がわく。

何せ、自分の周りでそういうことを明らかに主張していた人はなかなかいないと言えるからだ。

mixiのトピにも誰からも返事が来ないしなぁ(笑)
 
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情報とエントロピー
サンタフェの議事録?みたいなもんがもうアメリカから届いた。取り寄せには4週間はかかると思ってたんだが・・・はえーー

2週間かかってません。1週間ぐらいです。

まだForewordだけしか読んでないけどドキドキします。この小さな灰色の本型脳細胞に、未来が詰まっています(笑)

ところで、この会議の中に日本人が一人います。これから、その人についても調べてみようと思います。
 
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生物とエントロピー
mixiにトピックを建ててみた。果たして建設的な議論が得られるだろうか!?

こちらでのほうが建設的な議論が出来るかもしれないと思い、張ってみることにする。コメントはmixiとこちらでミラーリングするので、書き込んでくださる方はどちらでもかまわないです。

ユーザーイリュージョンという本に関する議論です==

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はじめまして!大学で数学と物理を学ぶ4年生をやってます。専門(いま主に勉強しているもの)は、(測度的な)確率過程と統計力学、量子力学における対称群の作用です。いわば、この本の主張を支える2大分野を勉強している感じです。

さて、この本ではまずマクスウェルの魔物とシャノンのエントロピーを論拠として、「情報を切り捨てること」によって「外情報」が生じるとしています。

いっぽう、意識の章では、ビット化されたメッセージが意味を持ちうるのは「外情報」によるとしています。つまり、意味は外情報から獲得されると言う主張です。

ところで、前者について情報に還元できないのは明白ですが、後者については、情報に還元できる気がしてなりません。

具体的に言えば、前者、特にマクスウェルの魔物については系全体の相空間(物理用語としての相空間。全ての分子の位置と運動量を記録した空間です)の保存量を相加的なエントロピー(もしくはランダウ的に言えば内部エネルギー)に押し込めると言う意味で情報を捨てていますが、後者についてはバックグラウンドにある知識を引き出しているだけです。知識を引き出すと言うプロセスは、人間全体を分子の集合とみなし、人間系の相空間を作れば、相空間上の軌跡と見做せるものであると思います。

それでは肝心の「情報を捨てるプロセス」はどこにあるかというと、学習というプロセスの中に眠っているわけです。

人間の行動を上記のように相空間上の軌跡と見做すならば、そもそも外情報からの知識の獲得は、学習プロセスにまでさかのぼって解釈されなければならないのか?それが気になるわけです。

著者がそれをどう考えているか。それが明確に分かる場所がありましたら、ご教授お願いします。

もちろん、このトピックの成否についての議論も歓迎いたします。
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この洞察に満ちた本が、このような問題を野放しにしているとは思えない。個人的にも考え続けるつもりだ。
 
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ルベーグ積分第二回
シナイの1章を読み終わりました。そのあとルベーグ積分のゼミに向かいました。今日は伊藤清三先生のを§6~8までやりました。議論が入り組んで、6時間もかかりました。いやー、久しぶりに全力で脳みそを使いました。死ぬかと思った(へちょい(笑))

帰ってきてゴースト~ニューヨークの幻、を見ました。初めて映画を字幕無しで見ました。これも久しぶりです、こんなに映画で感動したのは。ずっと映画を見ていなかったせいもありますが、僕が前回見た映画は伝説の「模倣犯」ですからね。

この頃闇雲に「世界の名作」を読みまくっていましたが、映画もたくさん見ないとなぁ。と思いました。

今日は実にいい日だったので、日記が丁寧語です(笑)

今日印象に残った話~
外測度がユークリッド空間上定義されればカラテオドリ可測な集合族が一意的に定まるが、その外測度が有界集合に対して有限で、さらに可測集合族がボレル集合族を含む場合、任意の(非有界な)可測集合Bが、閉集合Fによって内側から、Gによって外側から(任意の精度で)近似可能である。これは、外測度の、「全ての集合が同じ外測度値を持つボレル集合で近似可能である(同じ値を持ち、包含関係にあるようなボレル集合が存在する)」と言うプロパティとは別の次元にあり、可測集合と非可測集合のギャップをよくあらわしている。
もうひとつは、lim(N -> ∞){μ(Σ(N to ∞)An)}(以下完全加法性による残項と呼ぶ)は、集合Σ(1 to ∞)Anが測度有限である時、またその時に限ってゼロに収束すること。完全加法性による残項の発散の問題は、全体の測度が1で有限であるような確率論においては生じない。このことは教科書には書いてないのだが、発見したのは運だった。神様に感謝感謝。

ルベーグ飽きたのでソリトンでもやります、もちろんランダウも(笑)
 
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