プロフィール

suurizemi

Author:suurizemi
はじめまして。私の名前は松崎遥です。
2010年現在、東京大学大学院総合文化研究科の2年生です。
最近いろいろ総合しすぎてよく解っていません。
e-mailアドレスは、blckcloistergmilどっと混むです。出会い系サイトの攻撃によりコメント機能は使えませんので、こちらにご連絡下さい。

私の好きな言葉だけ・・・
「証明の海の中にこそ数学の生命が宿り、定理や予想は大海に浮かぶただの泡である(よみ人知らず)」
「曖昧な知識は何の役にもたちません。自戒を込めて(神保道夫)」
「連続関数以外では、微分積分法はむずかしい!(高木貞治)」
「10代で共産主義にかぶれない人間は情熱が足りない。20を過ぎて共産主義にかぶれる人間は知能が足りない。(よみ人知らず)」
「だから、あの人自身がアトラクターなんだよね(金子邦彦教授評。)」
「われわれは、ほとんど知識をもっていないことほど固く信じている。(モンテーニュ)」
「現代文明の根源であり象徴である近代科学は,知的に非凡とは言えない人間を温かく迎えいれ,その人間の仕事が成功することを可能にしている.
 その原因は,新しい科学の,また,科学に支配され代表される文明の,最大の長所であり,同時に最大の危険であるもの,つまり機械化である.物理学や生物学においてやらなくてはならないことの大部分は,誰にでも,あるいはほとんどの人にできる機械的な頭脳労働である.科学の無数の研究目的のためには,これを小さな分野に分けて,その一つに閉じこもり,他の分野のことは知らないでいてよかろう.方法の確実さと正確さのお陰で,このような知恵の一時的,実際的な解体が許される.これらの方法の一つを,一つの機械のように使って仕事をすればよいのであって,実り多い結果を得るためには.その方法の意味や原理についての厳密な観念をもつ必要など少しもない.このように,大部分の科学者は,蜜蜂が巣に閉じこもるように,焼き串をまわす犬のように,自分の実験室の小部屋に閉じこもって,科学全体の発達を推進しているのである.・・・(中略)・・・大部分の科学者は,自分の生とまともにぶつかるのがこわくて,科学に専念してきたのである.かれらは明晰な頭脳ではない.だから,周知のように,具体的な状況にたいして愚かなのである.(オルテガ)」
「幾何学(=数学)について腹蔵なく申せば、私は、これを頭脳の最高の訓練とは思いますが、同時にそれが本当に無益なものだということをよく存じていますので、、、(パスカル)」
「犬っころなら三日も四日も寝ていられようが・・・寝て暮らすにゃあ、人間てのは血が熱過ぎる・・・(村田京介)」
「小泉純一郎は朝食をたくさん食べる。ヒトラーも朝食をたくさん食べた。だから小泉はヒトラーと同じだ(朝日新聞)」
「畜生、今日もまた Perl でスクリプトを書いてしまった。ああもう、 Python がデフォルトでインストールされないシステムはゴミだよ。いや、それではゴミに対して失礼だ (リサイクル可能なものが多いからな) 。よし、こうしよう。 Python がデフォルトでインストールされないシステムは核廃棄物だ。いや、核廃棄物の中にも再利用できるものはあるな。なんて事だ、俺は本当に無価値なものを発見してしまった・・・(プログラマー)」
「ヨーロッパかアメリカの気候のよいところで、
のんびりぜいたくに遊んで一生を暮らすこともできるだろうに・・・それがお前たち下等なブルジョワの最高の幸福だ。」
「もし二人がいつも同じ意見なら、一人はいなくてもよい。(チャーチル)」
「悉く書を信ずれば、即ち書無きに如かず。(孟子)」
「一般的に、時間が経てば経つほど、バグを直すのにかかるコスト(時間とお金)は増える。
例えば、コンパイル時にタイプか文法エラーが出たら、それを直すのはごく当たり前のことだ。
バグを抱えていて、プログラムを動かそうとした最初のときに見つけたとする。君はわけなく直せるだろう。なぜなら、君の頭の中でそのコードはまだ新鮮だからだ。
2、3日前に書いたコードの中にバグを見つけたとする。それを追い詰めるのには少し時間を要するだろう。しかし、書いたコードを読み直せばすべてを思い出し、手ごろな時間で直せるだろう。
でも、2,3ヶ月前に書いたコードの中のバグについては、君はそのコードについて多くを忘れているだろう。そして、直すのはこれまでよりずっと大変だ。このケースでは、君は誰か他の人のコードを直していて、書いた本人は休暇でアルバ島(訳註:ベネズエラ北西カリブの島・リゾート地)に行っているかもしれない。この場合、バグを直すことは科学"science"のようなものだ。ゆっくり、順序立てて慎重にやらなければならないし、直す方法を見つけるのにどのくらいかかるのか、確かなところがわからない。
そして、すでに出荷されたコードのバグを見つけたら、それを直すには途方も無いコストを招くだろう。(Joel on Software)」
「男と女には春夏秋冬がある。
春にしっかり育てて、
夏に燃え上がり、
秋に”情”という実がなり
冬はそれを食べて生きていく。(柳沢きみお)」

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場の量子論
10月25日
もう10月も終わる。どうりで寒いわけである。今日も僕はTシャツ1枚で、自転車をこいで学校へ行った。これで風邪を引かないのだから、我ながら元気なものだ。

今日は初めてお弁当を作った。といってもチャーハンが100パーセントだったけれど。結果は・・・ふやけてあんまりおいしくなかった。どうやら作り立てをつめてはいけないらしい。今度から、弁当のチャーハンは前日に作っておくことにする。(あ、それじゃあ今から作らなきゃ、ダメじゃん。)

~米とぎ~

ふう、米を研いでいたら12時になってしまった。

今日は、2時間目に遅刻してついた。米谷先生の授業は、アハラノフ・ボーム効果をWKB近似で出していた。経路積分でも出せるので、WKB近似は必然ではないそうだ。WKB近似で出すやり方は、波動関数に対するゲージ変換の影響(位相のずれ)を求める方法だ。このずれは波動関数自体を変形するが、シュレーディンガー方程式を不変に保つという意味でゲージ不変である。経路積分を用いる方法は、経路積分

∫Dx(exp(iS))

をゲージ変換して、位相因子exp(eφ)が全体にかかることを利用する(自然単位)。

昼休み。今日は何にもやる気がしない。3時間目が始まりみんなが授業に行くが、やる気がしなかったため控え室に残る(プログラミング演習はどこで解いていても自由)。そしたら情報出身のT君が部屋に残っていたので、天気が良かったので気分転換に芝生に寝そべりに行くことにした。結局日が落ちるまで寝そべったままだべり、いい足だーとかいいながら16号館に戻った。このときには完全に回復していたと思う。

控え室で、真面目にプログラミングをする。Tは授業へ行った。ファンデアポル方程式のプログラムがさらに強力になって、別ウィンドウでリターンマップを表示するようになった。T田が途中から来てとなりで見ていたが、いろいろ助言をいただき、最後には商用プログラムのようになってしまった(笑)。リミットサイクル上では時間が進んでいるのかわからないので色を変えながら軌道をプロットしながらアニメーションするという、高度なプログラムになった。

6時半になり、プログラムが組み終わった。T田帰る。気分転換に多様体のゼミを覗く。C-r級とかをやっているようだ。控え室に帰ると、KさんがRyderの調子はどうかと聞いてきた。

相変わらずシュヴィンガーの汎関数微分の法則に出てくるJがよくわからんという話をすると、不意に昔からの疑問が思いだされ、それを尋ねた。それは、

∂μAνは量子力学ではどのような演算子か

ということである。(これを見てゼロ演算子だとか、オブザーバブルでないとか即断するのは良くない傾向だと思う。なぜなら、場の量子論は無限自由度の理論であり、基本変数(xやp)の概念が根本的に異なるからである。例えば、非相対的量子論の生成演算子と場の量子論の生成演算子は意味が全然違い、非相対論的量子論で生成演算子は"ラダー"であるが、場の量子論では対生成を表す演算子だからである。)

これは大変長い話になった。まずKさんは僕にplaquetteの概念を教えるために、フェルミオンに関する4次元ラティスゲージ理論を教えだした。適度に突っ込みを入れつつ、修得。これを使うと、ゲージ理論というのはゲージ変換の任意性の押し付け合いであり、一般相対論ではエネルギーストレステンソルとクリストッフェル記号のうちクリストッフェル記号がゲージ変換の任意性を持つのに対し、ゲージ理論では波動関数の位相とベクトルポテンシャル(接続係数)のどちらが任意性を担ってもよいことになる。この、物質が任意性を担うというのが量子論の特徴である。

この、一般相対論で言えばエネルギーストレステンソルがゲージ変換に対して任意性を持つという視点を採用すると、WKB近似的に与えた波動関数の位相変化は、格子上ではplaquetteという関数Uをかけることに相当する。

φ(x+μ)=Uφ(x)=φ(x)+iaeAμφ(x)
Dμφa=φ(x+μ)-φ(x)+iaeAμφ(x)=(U-1)φ(x)+iaeAμφ(x)
=2(U-1)φ(x)

アハラノフ・ボーム効果と同じ原理で、正方形の格子をグルッと回ってきて元に戻ることで得られるU□は、

exp(格子中の磁束)

である(おおざっぱ)。このとき、任意関数χによるゲージ変換を

g=exp(ieχ(x))

で与えると、群の結合律から

g^-1(x)Ug(x+μ)

となる。ここで、局所的ゲージ変換でU□はゲージ不変である、とするのが普通の物理的直感なので、

U□=g^-1Ugを4回かけたもの=g^-1(x)U□g(x)

すなわちU□はU□をその点のχ(x)で共役変換したものと変わらないことを要請できる。これは非可換ゲージ場でも成り立つのは明らかであろう。ゆえに、U□は正方形の辺が載っている二つの軸をxyztから選ぶことで指定できるので、Uμνと呼ぶ。Uμνは局所的ゲージ変換で不変であり、作用もまた(ゆえに、シュレーディンガー方程式も)不変に保たれる。

作用=DνφDνφ-FνμFνμ

一項目はUとU†の積になるので格子状を行って帰ってきたことに相当する。二項目は磁束(曲率テンソル)なので、Uμνほとんどそのものであり、その不変性から明らかに不変であると言える。

こう考えてみると、問題の演算子∂νAνは、Fμνの片割れ、∂μAνのトレースであることが分かる。それに対して作用は、FF†のトレースである。plaquetteを使ったのは、任意性をAではなく波動関数の位相におわせたかったからであり、これは格子の真ん中に付随するスカラー場であると考えることが出来る。このように波動関数に任意性を負わせても作用はゲージ不変となり、「ゲージ不変なものだけが観測される」という主張が表れる。よって、このときベクトルポテンシャルは観測量とならないであろう。だから∂νAνは演算子の積ではなく、それ自身を一つの独立した演算子と思わなければならないであろう。


この問題は、イジングモデルでは著しく簡単になる。簡単に言うと、低温ではスピンが揃っているが、高温では揃わない。しかし、実は高温ではエネルギーがフラットになっていると考えることが出来る。では何が揃っているかというと、それがplaquetteなのである。なぜなら、スピンがばらばらということは、磁束がゼロになっていることに相当するからである。これを、スピンとplaquetteのデュアリティーというらしい。

問題は、Uμνのような多成分のものに対してもデュアリティーが成立するかというものだが、それが多変数スピノールになるのではないかという話になってきた。スピンに対応するのは、フェルミオンの波動関数(スピノール)となる。


そのあとの、接続係数とヒッグス場が積を作るときに云々とか、経路積分をZと見たときにクオークとじこめが云々という話は僕の頭では理解できなかった。残念だ。で、結局ベクトルポテンシャルと生成演算子との関係を見直すということに落ち着いた。(つまり解決していない)ヒルベルト空間からフォック空間に変わることに、注意を要しそうである。フォック空間には、全体として場の状態を考えるという点に「相補性」が色濃く表れているような気がする。

まあ、格子で普通に考えるとUが出てくるので、どうやって生成演算子を引っ張り出すかということを考えれば解決しそうな予感がする。


気づいたら誰もいなかったので、二人で飯を食って帰った。話しているうちに、力学系のプログラムは3体問題のカオスを観測しようと思った。学科公開でもウケがよさそうだし。
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