プロフィール

suurizemi

Author:suurizemi
はじめまして。私の名前は松崎遥です。
2010年現在、東京大学大学院総合文化研究科の2年生です。
最近いろいろ総合しすぎてよく解っていません。
e-mailアドレスは、blckcloistergmilどっと混むです。出会い系サイトの攻撃によりコメント機能は使えませんので、こちらにご連絡下さい。

私の好きな言葉だけ・・・
「証明の海の中にこそ数学の生命が宿り、定理や予想は大海に浮かぶただの泡である(よみ人知らず)」
「曖昧な知識は何の役にもたちません。自戒を込めて(神保道夫)」
「連続関数以外では、微分積分法はむずかしい!(高木貞治)」
「10代で共産主義にかぶれない人間は情熱が足りない。20を過ぎて共産主義にかぶれる人間は知能が足りない。(よみ人知らず)」
「だから、あの人自身がアトラクターなんだよね(金子邦彦教授評。)」
「われわれは、ほとんど知識をもっていないことほど固く信じている。(モンテーニュ)」
「現代文明の根源であり象徴である近代科学は,知的に非凡とは言えない人間を温かく迎えいれ,その人間の仕事が成功することを可能にしている.
 その原因は,新しい科学の,また,科学に支配され代表される文明の,最大の長所であり,同時に最大の危険であるもの,つまり機械化である.物理学や生物学においてやらなくてはならないことの大部分は,誰にでも,あるいはほとんどの人にできる機械的な頭脳労働である.科学の無数の研究目的のためには,これを小さな分野に分けて,その一つに閉じこもり,他の分野のことは知らないでいてよかろう.方法の確実さと正確さのお陰で,このような知恵の一時的,実際的な解体が許される.これらの方法の一つを,一つの機械のように使って仕事をすればよいのであって,実り多い結果を得るためには.その方法の意味や原理についての厳密な観念をもつ必要など少しもない.このように,大部分の科学者は,蜜蜂が巣に閉じこもるように,焼き串をまわす犬のように,自分の実験室の小部屋に閉じこもって,科学全体の発達を推進しているのである.・・・(中略)・・・大部分の科学者は,自分の生とまともにぶつかるのがこわくて,科学に専念してきたのである.かれらは明晰な頭脳ではない.だから,周知のように,具体的な状況にたいして愚かなのである.(オルテガ)」
「幾何学(=数学)について腹蔵なく申せば、私は、これを頭脳の最高の訓練とは思いますが、同時にそれが本当に無益なものだということをよく存じていますので、、、(パスカル)」
「犬っころなら三日も四日も寝ていられようが・・・寝て暮らすにゃあ、人間てのは血が熱過ぎる・・・(村田京介)」
「小泉純一郎は朝食をたくさん食べる。ヒトラーも朝食をたくさん食べた。だから小泉はヒトラーと同じだ(朝日新聞)」
「畜生、今日もまた Perl でスクリプトを書いてしまった。ああもう、 Python がデフォルトでインストールされないシステムはゴミだよ。いや、それではゴミに対して失礼だ (リサイクル可能なものが多いからな) 。よし、こうしよう。 Python がデフォルトでインストールされないシステムは核廃棄物だ。いや、核廃棄物の中にも再利用できるものはあるな。なんて事だ、俺は本当に無価値なものを発見してしまった・・・(プログラマー)」
「ヨーロッパかアメリカの気候のよいところで、
のんびりぜいたくに遊んで一生を暮らすこともできるだろうに・・・それがお前たち下等なブルジョワの最高の幸福だ。」
「もし二人がいつも同じ意見なら、一人はいなくてもよい。(チャーチル)」
「悉く書を信ずれば、即ち書無きに如かず。(孟子)」
「一般的に、時間が経てば経つほど、バグを直すのにかかるコスト(時間とお金)は増える。
例えば、コンパイル時にタイプか文法エラーが出たら、それを直すのはごく当たり前のことだ。
バグを抱えていて、プログラムを動かそうとした最初のときに見つけたとする。君はわけなく直せるだろう。なぜなら、君の頭の中でそのコードはまだ新鮮だからだ。
2、3日前に書いたコードの中にバグを見つけたとする。それを追い詰めるのには少し時間を要するだろう。しかし、書いたコードを読み直せばすべてを思い出し、手ごろな時間で直せるだろう。
でも、2,3ヶ月前に書いたコードの中のバグについては、君はそのコードについて多くを忘れているだろう。そして、直すのはこれまでよりずっと大変だ。このケースでは、君は誰か他の人のコードを直していて、書いた本人は休暇でアルバ島(訳註:ベネズエラ北西カリブの島・リゾート地)に行っているかもしれない。この場合、バグを直すことは科学"science"のようなものだ。ゆっくり、順序立てて慎重にやらなければならないし、直す方法を見つけるのにどのくらいかかるのか、確かなところがわからない。
そして、すでに出荷されたコードのバグを見つけたら、それを直すには途方も無いコストを招くだろう。(Joel on Software)」
「男と女には春夏秋冬がある。
春にしっかり育てて、
夏に燃え上がり、
秋に”情”という実がなり
冬はそれを食べて生きていく。(柳沢きみお)」

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もはや自主セミナーの補助ページではなくなって久しいモノ。
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二次形式(岩波講座基礎数学)のつづき
10月28日 二次形式の続き

~カルタンの定理~

任意のn次元直交変換は、n個の鏡映変換の積で書ける。

証明
n=1の時は直交変換はプラスマイナス単位行列しかないので明らかである。
n=2の時。もしも2次元直交変換が一つでも固有ベクトルを持てば、それは固有ベクトルの直交補空間上の直交変換である。ゆえに1個の直交変換の積で書ける。
もしも2次元直交変換が一つも固有ベクトルを持たないならば、これが固有ベクトル(回転軸)を持つ元と、ある鏡映変換の積で書けることを示せばよい。あるベクトルaに対して、直交変換Pの性質から

a・a=P(a)・P(a) よって (a-P(a))・(a+P(a))=0

が成り立つ。これは、ひし形の対角線が直交することを表している。すると、ひし形の縦対角線a+P(a)に関する鏡映変換Sを使って、変換S・Pを作れば、

S(a+P(a))=a+P(a) かつ S(a-P(a))=-a+P(a) より、 S( a+P(a)-(a-P(a)) )= a+P(a)+a-P(a) すなわち S(P(a))=a
つまり、aはSPの固有ベクトルである。ゆえにSPは1個の直交変換の積で書け、P=SSPだから、Pは2個の直交変換の積である。
一般のnに対しては、上記の2をnで、1をn-1で置き換えればよい。■

この定理に、連続群論の美しさが凝縮されているといっていいのではないだろうか。群論の美しさは生成にあり、といっても過言ではなかろう。


直交行列がらみでもうひとつ。

~ケーリー変換~

交代行列Aに関してE+Aは正則であり、P=(E-A)(E+A)^-1は直交変換である。
(逆に、直交行列Pに対して、A=(E-P)(E+P)^-1は交代行列である。)

証明
交代行列Aの転置はーAであるから、

tP・P=t(E+A)^-1・t(E-A)・P=t(E+A)^-1・(E+A)・P=t(E+A)^-1・(E-A)

ここで、E+AとE-Aが可換であることを用いた。引き続き計算すると、

=t(E+A)^-1・t(E+A)=t((E+A)・(E+A)^-1)=E

となり、Pは直交行列であることが分かる。■


もしもAのノルムが1未満であれば、さらにフォン・ノイマンの分解定理が使えるので、

P=(E-A)(EーA+AA-AAA+・・・)=Eー2A+2AA-2AAA-・・・
tP=t(E+A)^-1・(E+A)=t(EーA+AA-AAA+・・・)・(E+A)
=(E+A+AA+AAA+・・・)・(E+A)
=E+2A+2AA+2AAA+・・・

が得られ、この二つを掛け合わせると、ちゃんとEになるのである。
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