プロフィール

suurizemi

Author:suurizemi
はじめまして。私の名前は松崎遥です。
2010年現在、東京大学大学院総合文化研究科の2年生です。
最近いろいろ総合しすぎてよく解っていません。
e-mailアドレスは、blckcloistergmilどっと混むです。出会い系サイトの攻撃によりコメント機能は使えませんので、こちらにご連絡下さい。

私の好きな言葉だけ・・・
「証明の海の中にこそ数学の生命が宿り、定理や予想は大海に浮かぶただの泡である(よみ人知らず)」
「曖昧な知識は何の役にもたちません。自戒を込めて(神保道夫)」
「連続関数以外では、微分積分法はむずかしい!(高木貞治)」
「10代で共産主義にかぶれない人間は情熱が足りない。20を過ぎて共産主義にかぶれる人間は知能が足りない。(よみ人知らず)」
「だから、あの人自身がアトラクターなんだよね(金子邦彦教授評。)」
「われわれは、ほとんど知識をもっていないことほど固く信じている。(モンテーニュ)」
「現代文明の根源であり象徴である近代科学は,知的に非凡とは言えない人間を温かく迎えいれ,その人間の仕事が成功することを可能にしている.
 その原因は,新しい科学の,また,科学に支配され代表される文明の,最大の長所であり,同時に最大の危険であるもの,つまり機械化である.物理学や生物学においてやらなくてはならないことの大部分は,誰にでも,あるいはほとんどの人にできる機械的な頭脳労働である.科学の無数の研究目的のためには,これを小さな分野に分けて,その一つに閉じこもり,他の分野のことは知らないでいてよかろう.方法の確実さと正確さのお陰で,このような知恵の一時的,実際的な解体が許される.これらの方法の一つを,一つの機械のように使って仕事をすればよいのであって,実り多い結果を得るためには.その方法の意味や原理についての厳密な観念をもつ必要など少しもない.このように,大部分の科学者は,蜜蜂が巣に閉じこもるように,焼き串をまわす犬のように,自分の実験室の小部屋に閉じこもって,科学全体の発達を推進しているのである.・・・(中略)・・・大部分の科学者は,自分の生とまともにぶつかるのがこわくて,科学に専念してきたのである.かれらは明晰な頭脳ではない.だから,周知のように,具体的な状況にたいして愚かなのである.(オルテガ)」
「幾何学(=数学)について腹蔵なく申せば、私は、これを頭脳の最高の訓練とは思いますが、同時にそれが本当に無益なものだということをよく存じていますので、、、(パスカル)」
「犬っころなら三日も四日も寝ていられようが・・・寝て暮らすにゃあ、人間てのは血が熱過ぎる・・・(村田京介)」
「小泉純一郎は朝食をたくさん食べる。ヒトラーも朝食をたくさん食べた。だから小泉はヒトラーと同じだ(朝日新聞)」
「畜生、今日もまた Perl でスクリプトを書いてしまった。ああもう、 Python がデフォルトでインストールされないシステムはゴミだよ。いや、それではゴミに対して失礼だ (リサイクル可能なものが多いからな) 。よし、こうしよう。 Python がデフォルトでインストールされないシステムは核廃棄物だ。いや、核廃棄物の中にも再利用できるものはあるな。なんて事だ、俺は本当に無価値なものを発見してしまった・・・(プログラマー)」
「ヨーロッパかアメリカの気候のよいところで、
のんびりぜいたくに遊んで一生を暮らすこともできるだろうに・・・それがお前たち下等なブルジョワの最高の幸福だ。」
「もし二人がいつも同じ意見なら、一人はいなくてもよい。(チャーチル)」
「悉く書を信ずれば、即ち書無きに如かず。(孟子)」
「一般的に、時間が経てば経つほど、バグを直すのにかかるコスト(時間とお金)は増える。
例えば、コンパイル時にタイプか文法エラーが出たら、それを直すのはごく当たり前のことだ。
バグを抱えていて、プログラムを動かそうとした最初のときに見つけたとする。君はわけなく直せるだろう。なぜなら、君の頭の中でそのコードはまだ新鮮だからだ。
2、3日前に書いたコードの中にバグを見つけたとする。それを追い詰めるのには少し時間を要するだろう。しかし、書いたコードを読み直せばすべてを思い出し、手ごろな時間で直せるだろう。
でも、2,3ヶ月前に書いたコードの中のバグについては、君はそのコードについて多くを忘れているだろう。そして、直すのはこれまでよりずっと大変だ。このケースでは、君は誰か他の人のコードを直していて、書いた本人は休暇でアルバ島(訳註:ベネズエラ北西カリブの島・リゾート地)に行っているかもしれない。この場合、バグを直すことは科学"science"のようなものだ。ゆっくり、順序立てて慎重にやらなければならないし、直す方法を見つけるのにどのくらいかかるのか、確かなところがわからない。
そして、すでに出荷されたコードのバグを見つけたら、それを直すには途方も無いコストを招くだろう。(Joel on Software)」
「男と女には春夏秋冬がある。
春にしっかり育てて、
夏に燃え上がり、
秋に”情”という実がなり
冬はそれを食べて生きていく。(柳沢きみお)」

最近の記事

最近のコメント

最近のトラックバック

月別アーカイブ

カテゴリー

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

自主セミナー やって候
もはや自主セミナーの補助ページではなくなって久しいモノ。
スポンサーサイト
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

 
aozora.gr.jp 東大生ブログランキング
共役演算子と閉演算子
6月9日
マジわかんねっすよレゾルヴェント。
今日は久しぶりに遊んできた。電車の中でひたすら量子力学の数学的構造を読んでいたんだが・・・
とりあえずレゾルヴェントまでのページは完璧にしておくか。本書の構成と違ったやり方で横断してみたい。
まず、有界演算子の話だけに限る。

2章 スペクトル理論 p95~p114
まず共役演算子の定義。掛け算演算子Fの共役は複素共役の関数を書ける演算子、など。有界演算子とは、全てのベクトルに対して、Aによるノルムの伸び率がある定数で抑えられること、つまりノルムの伸び率の関数がヒルベルト空間上有界であることを示しているから、掛け算演算子のFに制限がかかる。ぱっと見だとFが有界な関数ならよさそうだが、それは制限しすぎで、ゼロ集合を除いた部分が定数で抑えられればいい。これを、本質的に有界な関数という。
さて、線型演算子Aの属するバナッハ空間をB(H,K)と書けばその共役A*の属する空間はB(K,H)である。さらに、共役を2回取れば自分自身に戻る(A**=A)。ゆえに、共役演算子のノルムは元の演算子のノルムと等しい。
つまり、有界演算子は共役演算子を取っても定義域が縮小せず、よい振る舞いをする。さらに演算子の和と積に関しても、
(A+B)*=A*+B*
(BA)*=(A*)(B*)
が成り立つ。和の定義域はD(A)かつD(B)の共通部分、積の定義域はD(AB)である。
有界演算子がユニタリである(=内積を保存する)ことは、(U*)U=I in H、U(U*)=I in Kが成り立つことと同値である。無限次元でなければ、片方の条件式で十分であるが、無限次元であるので両方必要。
有界演算子は全て閉じている。つまり、AψnはKの中のベクトルに収束する。これは明らか。ゆえに、有界な演算子を任意の閉演算子に加えても、それは閉演算子のままである。このことを、閉性は有界演算子による摂動で安定である、という。
有界演算子は閉演算子であるが、閉演算子が有界となる十分条件は、定義域がヒルベルト空間全体となることである。これは、閉グラフ定理の結果である。

次に、閉演算子の話だけに限る。閉性がどうこうというより、これを満たさない演算子は何か、いまだに私には分からない(閉演算子の制限によって作れるものを除いて)。

2章 スペクトル理論 p95~p114
この章では無いが、本質的に有界でない関数による掛け算演算子について考える。位置演算子xは明らかにそうである。1/xもまさにそうである。
まず、この場合被関数を適当に選ぶ(階段関数で十分)ことによって「共振させ」、L2ノルムを発散させることが出来る。本質的に有界な関数は∞をとる集合がゼロ集合なので「共振できない」、というのが肝である。
このことから分かるように、階段関数が適当に選べるからこれは必ず非有界演算子となる。
この共振する関数は除いて定義域とする。しかし、定義関数χn≦Nを使って値の高いところだけ除いてやれば共振関数(共振、というのは私の造語)は除けるから、定義域はどう頑張っても稠密になってしまう。
さて、非有界演算子だと共役演算子の振る舞いが難しい。極端な場合は、共役演算子がゼロになってしまう場合で、例示されている。定義域は、稠密になるときもならないときもある。つまり、稠密になるとは限らない。

閉演算子は、グラフが閉集合になる演算子のことであるといってよい。この定義は非常に自然で直感的である。線型演算子のグラフとは、直和H+Kの部分集合のうち、H=0の切片が原点に限るものであるといってよい。つまり一価関数ということで、当たり前である。さらにH=0以外の値での一価性は、Aの線型性とH=0の結果から従うわけである。なぜならば、2価の点があれば原点に平行移動して矛盾を導ける。また、閉包が閉演算子になるとき可閉演算子という。可閉演算子の最小の閉拡大が閉包である。

特に、定義域が稠密な演算子の共役演算子は、必ず閉演算子になる。有界だったときの事実を思い出せば、共役演算子の値域の稠密性が閉性を表していることが分かる。ゆえに、掛け算演算子は必ず閉演算子である。

可閉であることの必要十分条件は、D(A*)が稠密なことである。これも上と同じように、値域の稠密性を点列の収束に使っている。可閉な物の例としては、偏微分演算子である。
スポンサーサイト

 
aozora.gr.jp 東大生ブログランキング
この記事に対するコメント

この記事に対するコメントの投稿














管理者にだけ表示を許可する


この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://suurizemi.blog32.fc2.com/tb.php/60-cbeb63ed
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。